Страница 134 номер 11.19, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Из точки \(D\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(DA\) и \(DB\), сумма которых равна 28 см. Найдите эти наклонные, если их проекции на плоскость \(\alpha\) равны соответственно 9 см и 5 см.
Дано:
\(DA\) и \(DB\) — наклонные к плоскости \(\alpha\)
\(DA + DB = 28\) см
проекция наклонной \(DA\) — 9 см
проекция наклонной \(DB\) — 5 см
Найти: \(DA\) и \(DB\).
Решение: Пусть \(DO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(D\) на плоскость \(\alpha\); тогда \(OA = 9\) см и \(OB = 5\) см — проекции наклонных \(DA\) и \(DB\). Поскольку \(DO \perp \alpha\), то \(\angle DOA = \angle DOB = 90^\circ\).
Пусть \(DA = x\) см, тогда \(DB = (28 - x)\) см. Прямоугольные треугольники \(DOA\) и \(DOB\) имеют общий катет \(DO\).
По теореме Пифагора \(DO^2 = DA^2 - OA^2\) и \(DO^2 = DB^2 - OB^2\), поэтому
\[\begin{aligned} x^2 - 9^2 &= (28 - x)^2 - 5^2; \\ x^2 - 81 &= 784 - 56x + x^2 - 25; \\ 56x &= 840; \qquad | : 56 \\ x &= 15. \end{aligned}\]
Значит, \(DA = 15\) см, \(DB = 28 - 15 = 13\) (см).
Ответ: \(DA = 15\) см, \(DB = 13\) см.
