Страница 136 номер 11.41, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = 1\) см

Найти: расстояние между прямыми \(B_1D\) и \(AC\).

Решение: Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) квадрата \(ABCD\). Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому \(AC \perp BD\). Все грани куба — квадраты, поэтому ребро \(BB_1\) перпендикулярно пересекающимся прямым \(BA\) и \(BC\) плоскости \(ABC\); по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BB_1 \perp ABC\), и, значит, \(BB_1 \perp AC\). Рёбра \(BB_1\) и \(DD_1\) параллельны ребру \(AA_1\) (грани \(AA_1B_1B\) и \(AA_1D_1D\) — квадраты), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(BB_1 \parallel DD_1\) и точки \(B\), \(B_1\), \(D_1\), \(D\) лежат в одной плоскости. Прямая \(AC\) перпендикулярна пересекающимся прямым \(BD\) и \(BB_1\) плоскости \(BB_1D_1\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AC \perp BB_1D_1\).

Прямая \(B_1D\) лежит в плоскости \(BB_1D_1\), а прямая \(AC\) пересекает эту плоскость в точке \(O\), не принадлежащей прямой \(B_1D\) (прямая \(B_1D\) имеет с плоскостью \(ABC\) единственную общую точку \(D\)). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(B_1D\) и \(AC\) скрещиваются. Прямая \(AC\) перпендикулярна плоскости \(BB_1D_1\), её проекция на эту плоскость — точка \(O\), а проекция прямой \(B_1D\) — сама прямая \(B_1D\). Поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми \(B_1D\) и \(AC\) равно расстоянию от точки \(O\) до прямой \(B_1D\), то есть длине перпендикуляра \(OH\), опущенного в плоскости \(BB_1D_1\) из точки \(O\) на прямую \(B_1D\).

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(ABD\) находим \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) (см); диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OD = \frac{\sqrt{2}}{2}\) см. Поскольку \(BB_1 \perp ABC\), то \(\angle B_1BD = 90^\circ\), и из прямоугольного треугольника \(B_1BD\) находим \(B_1D = \sqrt{BB_1^2 + BD^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}\) (см).

Точка \(O\) лежит на луче \(DB\), а угол \(BDB_1\) острый, поэтому точка \(H\) лежит на луче \(DB_1\). Прямоугольные треугольники \(OHD\) и \(B_1BD\) подобны (угол \(D\) у них общий), поэтому \(\frac{OH}{B_1B} = \frac{OD}{B_1D}\), откуда

\[OH = \frac{B_1B \cdot OD}{B_1D} = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \text{ (см)}.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{6}\) см.