Страница 137 номер 11.52, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. §11. Перпендикуляр и наклонная. Страница 137. Номер 11.52

Задание / условие:

Основанием пирамиды \(SABCD\) является ромб \(ABCD\), диагонали которого пересекаются в точке \(O\). Прямая \(SO\) перпендикулярна плоскости ромба. Точка \(K\) — середина ребра \(SA\). Точка \(X\) принадлежит прямой \(DK\). Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника \(AXC\), если \(SO = 42\) см, \(AC = 58\) см, \(BD = 40\) см.

Дано:
\(SABCD\) — пирамида
\(ABCD\) — ромб
\(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\)
\(SO \perp ABC\)
\(K\) — середина ребра \(SA\)
\(X \in DK\)
\(SO = 42\) см
\(AC = 58\) см
\(BD = 40\) см

Найти: наименьшее значение площади треугольника \(AXC\).

Решение: Точка \(S\) не лежит в плоскости \(ABC\), поэтому и середина \(K\) ребра \(SA\) в ней не лежит. Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(DK\) пересекает эту плоскость в точке \(D\), не принадлежащей прямой \(AC\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(AC\) и \(DK\) скрещиваются; в частности, точка \(X\) не лежит на прямой \(AC\), и треугольник \(AXC\) существует.

Площадь треугольника \(AXC\) равна половине произведения стороны \(AC\) на высоту, проведённую к ней из вершины \(X\), то есть на длину перпендикуляра, опущенного из точки \(X\) на прямую \(AC\). Концы этого перпендикуляра лежат на скрещивающихся прямых \(DK\) и \(AC\). У скрещивающихся прямых есть общий перпендикуляр; он короче любого другого отрезка с концами на этих прямых, а его длина равна расстоянию \(d\) между прямыми. Поэтому высота треугольника \(AXC\) не меньше \(d\), а если \(X\) — конец общего перпендикуляра, лежащий на прямой \(DK\), то этот общий перпендикуляр и есть высота, и она равна \(d\). Значит, наименьшее значение площади треугольника \(AXC\) равно \(\frac{1}{2} AC \cdot d\).

Диагонали ромба перпендикулярны: \(AC \perp BD\). Поскольку \(SO \perp ABC\), то \(SO \perp AC\). Прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BD\) и \(SO\) плоскости \(SBD\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AC \perp SBD\). Прямая \(AC\) пересекает плоскость \(SBD\) в точке \(O\), поэтому её проекция на эту плоскость — точка \(O\). Пусть \(E\) — середина отрезка \(SO\). Отрезок \(KE\) — средняя линия треугольника \(SAO\), поэтому \(KE \parallel AO\), а если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости. Значит, \(KE \perp SBD\), и \(E\) — проекция точки \(K\) на плоскость \(SBD\). Точка \(D\) лежит в этой плоскости, поэтому проекция прямой \(DK\) — прямая \(DE\). Следовательно, расстояние \(d\) между скрещивающимися прямыми \(AC\) и \(DK\) равно расстоянию от точки \(O\) до прямой \(DE\).

график

Пусть \(OH\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(O\) на прямую \(DE\). Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OD = \frac{1}{2} BD = 20\) см; кроме того, \(OE = \frac{1}{2} SO = 21\) см. Поскольку \(SO \perp ABC\), то \(\angle DOE = 90^\circ\), и из прямоугольного треугольника \(DOE\) находим \(DE = \sqrt{OD^2 + OE^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = 29\) (см).

график