Страница 136 номер 11.39, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
\(M\) — середина \(C_1D_1\)

Найти: расстояние от точки \(D_1\) до плоскости \(AMD\).

Решение: Все грани куба — квадраты, поэтому ребро \(AD\) перпендикулярно пересекающимся прямым \(DC\) и \(DD_1\) плоскости \(DD_1C_1\), и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp DD_1C_1\).

В плоскости \(DD_1C_1\) проведём перпендикуляр \(D_1P\) к прямой \(DM\). Прямая \(D_1P\) лежит в плоскости \(DD_1C_1\), поэтому \(AD \perp D_1P\). Прямая \(D_1P\) перпендикулярна пересекающимся прямым \(DM\) и \(AD\) плоскости \(AMD\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(D_1P \perp AMD\), и расстояние от точки \(D_1\) до плоскости \(AMD\) равно длине отрезка \(D_1P\).

В прямоугольном треугольнике \(DD_1M\) (\(\angle DD_1M = 90^\circ\), грань \(DD_1C_1C\) — квадрат) катеты \(DD_1 = a\) и \(D_1M = \frac{a}{2}\), а \(D_1P\) — высота, проведённая к гипотенузе \(DM\).

По теореме Пифагора \(DM = \sqrt{DD_1^2 + D_1M^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\). Площадь треугольника \(DD_1M\) равна и \(\frac{1}{2} \cdot DD_1 \cdot D_1M\), и \(\frac{1}{2} \cdot DM \cdot D_1P\), поэтому

\[D_1P = \frac{DD_1 \cdot D_1M}{DM} = \frac{a \cdot \frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{5}}{5}.\]

Ответ: \(\frac{a\sqrt{5}}{5}\).