Страницы 136-137 номер 11.49, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(SABC\) — пирамида
\(SA \perp ABC\)
\(K\) — середина ребра \(BC\)
\(M\) — середина ребра \(AC\)
\(SA = 5\) см
\(AC = 16\) см
\(AB = BC\)

Найти: расстояние между прямыми \(SK\) и \(BM\).

Решение: Прямая \(BM\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(SK\) пересекает эту плоскость в точке \(K\), не принадлежащей прямой \(BM\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(SK\) и \(BM\) скрещиваются.

Треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)), поэтому его медиана \(BM\) является высотой: \(BM \perp AC\). Поскольку \(SA \perp ABC\), то \(SA \perp BM\). Прямая \(BM\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AC\) и \(SA\) плоскости \(SAC\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BM \perp SAC\).

Прямая \(BM\) перпендикулярна плоскости \(SAC\) и пересекает её в точке \(M\), поэтому её проекция на эту плоскость — точка \(M\). Пусть \(N\) — середина отрезка \(MC\). Отрезок \(KN\) — средняя линия треугольника \(BMC\), поэтому \(KN \parallel BM\), а если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости. Значит, \(KN \perp SAC\), и \(N\) — проекция точки \(K\) на плоскость \(SAC\). Точка \(S\) лежит в этой плоскости, поэтому проекция прямой \(SK\) — прямая \(SN\). Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми \(SK\) и \(BM\) равно расстоянию от точки \(M\) до прямой \(SN\).

Имеем: \(AM = MC = 8\) см, \(MN = NC = 4\) см, \(AN = AM + MN = 12\) см. Поскольку \(SA \perp ABC\), то \(\angle SAN = 90^\circ\), и из прямоугольного треугольника \(SAN\) находим \(SN = \sqrt{SA^2 + AN^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\) (см). Пусть \(ML\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(M\) на прямую \(SN\).

Отрезок \(SA\) — высота треугольника \(SMN\), проведённая к прямой \(MN\) (так как \(SA \perp AN\)), поэтому площадь этого треугольника равна \(\frac{1}{2} MN \cdot SA\); с другой стороны, она равна \(\frac{1}{2} SN \cdot ML\). Отсюда

\[ML = \frac{MN \cdot SA}{SN} = \frac{4 \cdot 5}{13} = \frac{20}{13} \text{ (см)}.\]

Ответ: \(\frac{20}{13}\) см.