Страница 136 номер 11.45, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. §11. Перпендикуляр и наклонная. Страница 136. Номер 11.45

Задание / условие:

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Точки \(M\) и \(K\) принадлежат плоскости \(\alpha\), а точки \(N\) и \(F\) — плоскости \(\beta\). Известно, что \(MN \perp \beta\), \(MN = 12\) см, \(MK = 4\) см, \(NF = 3\) см, \(KF = 13\) см. Найдите расстояние между прямыми \(MN\) и \(KF\).

Дано:
\(\alpha \parallel \beta\)
\(M \in \alpha\)
\(K \in \alpha\)
\(N \in \beta\)
\(F \in \beta\)
\(MN \perp \beta\)
\(MN = 12\) см
\(MK = 4\) см
\(NF = 3\) см
\(KF = 13\) см

Найти: расстояние между прямыми \(MN\) и \(KF\).

Решение: Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой, поэтому \(MN \perp \alpha\). Опустим из точки \(K\) перпендикуляр \(KK_1\) на плоскость \(\beta\). Прямые \(MN\) и \(KK_1\) перпендикулярны плоскости \(\beta\) и различны (прямая \(MN\) пересекает плоскость \(\alpha\) только в точке \(M\), а точка \(K\) от \(M\) отлична), поэтому они параллельны: две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. Плоскость, проходящая через параллельные прямые \(MN\) и \(KK_1\), пересекает параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) по параллельным прямым \(MK\) и \(NK_1\). Значит, \(MNK_1K\) — параллелограмм, \(NK_1 = MK = 4\) см и \(KK_1 = MN = 12\) см.

Поскольку \(KK_1 \perp \beta\), то \(\angle KK_1F = 90^\circ\), и из прямоугольного треугольника \(KK_1F\) находим \(K_1F = \sqrt{KF^2 - KK_1^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5\) (см). В треугольнике \(K_1NF\) имеем: \(NK_1^2 + NF^2 = 4^2 + 3^2 =25 = K_1F^2\), поэтому по теореме, обратной теореме Пифагора, \(\angle K_1NF = 90^\circ\).

Плоскость \(MNK_1\) пересекает плоскость \(\beta\) по прямой \(NK_1\), а точка \(F\) на этой прямой не лежит, поэтому прямая \(KF\) пересекает плоскость \(MNK_1\) только в точке \(K\). Точка \(K\) не принадлежит прямой \(MN\), следовательно, по признаку скрещивающихся прямых прямые \(MN\) и \(KF\) скрещиваются.

Прямая \(MN\) перпендикулярна плоскости \(\beta\), её проекция на эту плоскость — точка \(N\), а проекция прямой \(KF\) — прямая \(K_1F\). Поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми \(MN\) и \(KF\) равно расстоянию от точки \(N\) до прямой \(K_1F\), то есть длине высоты \(NH\) прямоугольного треугольника \(K_1NF\).

график