Страница 134 номер 11.20, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(MN\) и \(MK\), образующие со своими проекциями на данную плоскость углы по \(60^\circ\). Найдите расстояние между основаниями данных наклонных, если угол между наклонными равен \(90^\circ\), а расстояние от точки \(M\) до плоскости \(\alpha\) равно \(\sqrt{3}\) см.
Дано:
\(MN\) и \(MK\) — наклонные к плоскости \(\alpha\)
наклонные \(MN\) и \(MK\) образуют со своими проекциями углы по \(60^\circ\)
\(\angle NMK = 90^\circ\)
расстояние от точки \(M\) до плоскости \(\alpha\) — \(\sqrt{3}\) см
Найти: \(NK\).
Решение: Пусть \(MO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(M\) на плоскость \(\alpha\); тогда \(MO = \sqrt{3}\) см, а отрезки \(ON\) и \(OK\) — проекции наклонных \(MN\) и \(MK\). Поскольку \(MO \perp \alpha\), то \(\angle MON = \angle MOK = 90^\circ\). Наклонная \(MN\) образует со своей проекцией \(ON\) угол \(MNO\), а наклонная \(MK\) со своей проекцией \(OK\) — угол \(MKO\), поэтому \(\angle MNO = \angle MKO = 60^\circ\).
В прямоугольном треугольнике \(MON\) катет \(MO\) лежит против угла \(MNO\), поэтому \(MN = \frac{MO}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2\) (см) и \(ON = \frac{MO}{\operatorname{tg} 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1\) (см). Прямоугольные треугольники \(MON\) и \(MOK\) равны по катету и противолежащему острому углу (катет \(MO\) — общий, \(\angle MNO = \angle MKO\)), поэтому \(MK = MN = 2\) см и \(OK = ON = 1\) см.
Для любых трёх точек \(N\), \(O\), \(K\) верно \(NK \leqslant NO + OK\) (равенство — когда точка \(O\) лежит на отрезке \(NK\)), поэтому \(NK \leqslant 1 + 1 = 2\) (см). Если бы угол \(NMK\) между наклонными был прямым, то отрезок \(NK\) был бы гипотенузой прямоугольного треугольника \(NMK\) и был бы больше катета \(MN = 2\) см, а это невозможно. Значит, наклонных с такими данными не существует: основания наклонных, образующих со своими проекциями углы \(60^\circ\), при расстоянии \(\sqrt{3}\) см от точки \(M\) до плоскости удалены друг от друга не больше чем на 2 см, и угол между такими наклонными не может быть прямым.
Формальный счёт по теореме Пифагора в треугольнике \(NMK\) дал бы \(NK = \sqrt{MN^2 + MK^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\) (см), но \(2\sqrt{2} > 2\): отрезка такой длины между основаниями этих наклонных быть не может.
Ответ: такой фигуры нет: основания наклонных удалены друг от друга не больше чем на \(ON + OK = 2\) см, а прямой угол между наклонными \(MN = MK = 2\) см дал бы \(NK > 2\) см.
