Страница 136 номер 11.47, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
\(M\) — середина ребра \(CC_1\)

Найти: расстояние между прямыми \(DA_1\) и \(MD_1\).

Решение: Прямая \(DA_1\) лежит в плоскости \(AA_1D_1\), а прямая \(MD_1\) пересекает эту плоскость в точке \(D_1\), не принадлежащей прямой \(DA_1\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(DA_1\) и \(MD_1\) скрещиваются.

Все грани куба — равные квадраты. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AD_1\) и \(A_1D\) грани \(AA_1D_1D\), \(P\) — точка пересечения диагоналей \(BC_1\) и \(B_1C\) грани \(BB_1C_1C\).

Прямые \(AB\) и \(D_1C_1\) параллельны прямой \(DC\) как противолежащие стороны прямоугольников \(ABCD\) и \(DD_1C_1C\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(AB \parallel D_1C_1\) и точки \(A\), \(B\), \(C_1\) и \(D_1\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \(AA_1D\) и \(BB_1C\) по параллельным прямым \(AD_1\) и \(BC_1\). Значит, у четырёхугольника \(ABC_1D_1\) противолежащие стороны попарно параллельны — это параллелограмм. Ребро \(AB\) перпендикулярно пересекающимся прямым \(AD\) и \(AA_1\), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AB \perp AA_1D\); значит, \(AB \perp AD_1\) и \(AB \perp A_1D\). Следовательно, \(ABC_1D_1\) — прямоугольник. Диагонали квадрата перпендикулярны: \(A_1D \perp AD_1\). Прямая \(A_1D\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(AD_1\) плоскости \(ABC_1\), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(A_1D \perp ABC_1\). Аналогично ребро \(AB\) перпендикулярно пересекающимся прямым \(BC\) и \(BB_1\), поэтому \(AB \perp BB_1C\) и \(AB \perp B_1C\); кроме того, \(B_1C \perp BC_1\). Прямая \(B_1C\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(BC_1\) плоскости \(ABC_1\), поэтому \(B_1C \perp ABC_1\).

Прямая \(DA_1\) перпендикулярна плоскости \(ABC_1\) и пересекает её в точке \(O\), поэтому её проекция на эту плоскость — точка \(O\). Пусть \(M_1\) — середина отрезка \(PC_1\). Отрезок \(MM_1\) — средняя линия треугольника \(CPC_1\), поэтому \(MM_1 \parallel CP\). Прямая \(CP\) (это прямая \(B_1C\)) перпендикулярна плоскости \(ABC_1\), а если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости. Значит, \(MM_1 \perp ABC_1\), и точка \(M_1\), лежащая на прямой \(BC_1\), — проекция точки \(M\) на плоскость \(ABC_1\). Точка \(D_1\) лежит в этой плоскости, поэтому проекция прямой \(MD_1\) — прямая \(D_1M_1\). Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми \(DA_1\) и \(MD_1\) равно расстоянию от точки \(O\) до прямой \(D_1M_1\).

Пусть \(OH\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(O\) на прямую \(D_1M_1\). Диагонали граней куба равны \(\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\) и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OD_1 = PC_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) и \(C_1M_1 = \frac{1}{2} PC_1 = \frac{a\sqrt{2}}{4}\). Угол \(D_1C_1M_1\) прямоугольника \(ABC_1D_1\) прямой, поэтому

\[D_1M_1 = \sqrt{D_1C_1^2 + C_1M_1^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{8}} = \frac{3a}{2\sqrt{2}} = \frac{3a\sqrt{2}}{4}.\]

Высота треугольника \(OD_1M_1\), проведённая из вершины \(M_1\), равна расстоянию между параллельными прямыми \(AD_1\) и \(BC_1\), то есть \(AB = a\). Поэтому площадь этого треугольника равна \(\frac{1}{2} OD_1 \cdot a\) и равна \(\frac{1}{2} D_1M_1 \cdot OH\), откуда

\[OH = \frac{OD_1 \cdot a}{D_1M_1} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a}{\frac{3a\sqrt{2}}{4}} = \frac{2a}{3}.\]

Ответ: \(\frac{2a}{3}\).