Страница 136 номер 11.42, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(AB = BC = CA = 1\) см
\(DA = DB = DC = 1\) см

Найти: расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\).

Решение: Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(CD\) пересекает эту плоскость в точке \(C\), не принадлежащей прямой \(AB\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(AB\) и \(CD\) скрещиваются.

Пусть \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(CD\) соответственно. Треугольники \(ABC\) и \(ABD\) равносторонние, поэтому их медианы \(CM\) и \(DM\) являются высотами: \(CM \perp AB\), \(DM \perp AB\). Прямая \(AB\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(CM\) и \(DM\) плоскости \(CMD\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AB \perp CMD\). Прямая \(MN\) лежит в плоскости \(CMD\), а прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости, поэтому \(MN \perp AB\).

Медианы \(CM\) и \(DM\) равных равносторонних треугольников \(ABC\) и \(ABD\) равны, значит, треугольник \(CMD\) равнобедренный и его медиана \(MN\) является высотой: \(MN \perp CD\). Отрезок \(MN\) перпендикулярен прямым \(AB\) и \(CD\), а его концы лежат на этих прямых, то есть \(MN\) — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых \(AB\) и \(CD\). Длина общего перпендикуляра скрещивающихся прямых равна расстоянию между этими прямыми, поэтому искомое расстояние равно \(MN\).

Медиана \(CM\) равностороннего треугольника \(ABC\) является его высотой, поэтому из прямоугольного треугольника \(AMC\) находим \(CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) (см).

В прямоугольном треугольнике \(MNC\) катет \(CN = \frac{1}{2}\) см, гипотенуза \(CM = \frac{\sqrt{3}}{2}\) см, поэтому

\[MN = \sqrt{CM^2 - CN^2} = \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ (см)}.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) см.