Страница 137 номер 11.51, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. §11. Перпендикуляр и наклонная. Страница 137. Номер 11.51

Задание / условие:

Ребро \(DC\) тетраэдра \(DABC\) равно 2 см и перпендикулярно плоскости \(ABC\). Грань \(ABC\) является равнобедренным прямоугольным треугольником, катеты \(AC\) и \(BC\) которого равны 4 см. Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AC\) и \(AB\) соответственно. Найдите расстояние между прямыми \(DM\) и \(CN\).

Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(DC \perp ABC\)
\(DC = 2\) см
\(\angle ACB = 90^\circ\)
\(AC = BC = 4\) см
\(M\) — середина ребра \(AC\)
\(N\) — середина ребра \(AB\)

Найти: расстояние между прямыми \(DM\) и \(CN\).

Решение: Прямая \(CN\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(DM\) пересекает эту плоскость в точке \(M\), не принадлежащей прямой \(CN\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(DM\) и \(CN\) скрещиваются.

Проведём в плоскости \(ABC\) через точку \(C\) прямую \(l\), перпендикулярную прямой \(CN\), и опустим из точки \(M\) перпендикуляр \(MP\) на прямую \(l\). Прямые \(MP\) и \(CN\) лежат в плоскости \(ABC\), перпендикулярны прямой \(l\) и различны (точка \(M\) не лежит на прямой \(CN\)), поэтому \(MP \parallel CN\). Плоскость \(DMP\) пересекает плоскость \(ABC\) по прямой \(MP\), поэтому прямая \(CN\) в плоскости \(DMP\) не лежит; она параллельна прямой \(MP\) этой плоскости, значит, по признаку параллельности прямой и плоскости \(CN \parallel DMP\). Плоскость \(DMP\) проходит через прямую \(DM\) и параллельна прямой \(CN\), поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми \(DM\) и \(CN\) равно расстоянию между прямой \(CN\) и плоскостью \(DMP\), то есть расстоянию от точки \(C\) до плоскости \(DMP\).

Опустим из точки \(C\) перпендикуляр \(CF\) на прямую \(DP\). Поскольку \(DC \perp ABC\), то \(DC \perp MP\); кроме того, \(MP \perp CP\). Прямая \(MP\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(DC\) и \(CP\) плоскости \(DCP\), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(MP \perp DCP\), и, значит, \(MP \perp CF\). Прямая \(CF\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(DP\) и \(MP\) плоскости \(DMP\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CF \perp DMP\), и искомое расстояние равно \(CF\).

график

Треугольник \(ABC\) прямоугольный и равнобедренный (\(AC = BC\)), поэтому его медиана \(CN\) является биссектрисой прямого угла: \(\angle ACN = 45^\circ\); а так как \(\angle NCP = 90^\circ\), то \(\angle MCP = 45^\circ\). Значит, прямоугольный треугольник \(MPC\) равнобедренный: \(CP = MP\). Поскольку \(CM = \frac{1}{2} AC = 2\) см и \(CP^2 + MP^2 = CM^2\), то \(2CP^2 = 4\), откуда \(CP = \sqrt{2}\) см.

график

Поскольку \(DC \perp ABC\), то \(\angle DCP = 90^\circ\), и из прямоугольного треугольника \(DCP\) находим \(DP = \sqrt{DC^2 + CP^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}\) (см).

график