Страница 136 номер 11.48, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(DB \perp ABC\)
\(M\) — середина ребра \(BC\)
\(BD = 3\) см
\(AC = 12\) см
\(AB = BC = 10\) см

Найти: расстояние между прямыми \(AC\) и \(DM\).

Решение: Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(DM\) пересекает эту плоскость в точке \(M\), не принадлежащей прямой \(AC\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(AC\) и \(DM\) скрещиваются.

Пусть \(K\) — середина отрезка \(AC\). Треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)), поэтому его медиана \(BK\) является высотой: \(BK \perp AC\). Поскольку \(DB \perp ABC\), то \(DB \perp AC\). Прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BK\) и \(DB\) плоскости \(BDK\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AC \perp BDK\).

Прямая \(AC\) перпендикулярна плоскости \(BDK\) и пересекает её в точке \(K\), поэтому её проекция на эту плоскость — точка \(K\). Пусть \(N\) — середина отрезка \(BK\). Отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(BCK\), поэтому \(MN \parallel CK\). Прямая \(CK\) (это прямая \(AC\)) перпендикулярна плоскости \(BDK\), а если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости. Значит, \(MN \perp BDK\), и \(N\) — проекция точки \(M\) на плоскость \(BDK\). Точка \(D\) лежит в этой плоскости, поэтому проекция прямой \(DM\) — прямая \(DN\). Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми \(AC\) и \(DM\) равно расстоянию от точки \(K\) до прямой \(DN\).

Из прямоугольного треугольника \(BKC\) (\(\angle BKC = 90^\circ\), \(KC = \frac{1}{2} AC = 6\) см) находим \(BK = \sqrt{BC^2 - KC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\) (см), откуда \(BN = NK = 4\) см. Поскольку \(DB \perp ABC\), то \(\angle DBN = 90^\circ\), и из прямоугольного треугольника \(DBN\) находим \(DN = \sqrt{BD^2 + BN^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) (см). Пусть \(KL\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(K\) на прямую \(DN\).

Отрезок \(DB\) — высота треугольника \(DNK\), проведённая к прямой \(NK\) (так как \(DB \perp BK\)), поэтому площадь этого треугольника равна \(\frac{1}{2} NK \cdot DB\); с другой стороны, она равна \(\frac{1}{2} DN \cdot KL\). Отсюда

\[KL = \frac{NK \cdot DB}{DN} = \frac{4 \cdot 3}{5} = 2{,}4 \text{ (см)}.\]

Ответ: \(2{,}4\) см.