Страница 134 номер 11.25, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC = 4\sqrt{5}\) см, \(AC = 8\) см. Точка \(D\) расположена на расстоянии \(5\sqrt{5}\) см от каждой вершины треугольника \(ABC\). Найдите расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\).
Дано:
\(AB = BC = 4\sqrt{5}\) см
\(AC = 8\) см
\(DA = DB = DC = 5\sqrt{5}\) см
Найти: расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\).
Решение: Пусть \(BH\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведённая к основанию \(AC\); она является и медианой, поэтому \(AH = 4\) см. Из прямоугольного треугольника \(AHB\): \(BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{80 - 16} = \sqrt{64} = 8\) (см). Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\) (см\(^2\)), а радиус его описанной окружности \(R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{4\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 8}{4 \cdot 32} = \frac{640}{128} = 5\) (см).
Точка \(D\) не лежит в плоскости \(ABC\): точка этой плоскости, равноудалённая от вершин треугольника, — центр \(O\) его описанной окружности, а он удалён от вершин на 5 см, тогда как точка \(D\) — на \(5\sqrt{5}\) см. Опустим из точки \(D\) перпендикуляр на плоскость \(ABC\). Если точка, не принадлежащая плоскости многоугольника, равноудалена от его вершин, то проекцией этой точки на плоскость многоугольника является центр его описанной окружности. Поэтому основание перпендикуляра — точка \(O\), \(DO \perp ABC\).
Поскольку \(DO \perp ABC\), то \(\angle DOA = 90^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(DOA\): \(DO = \sqrt{DA^2 - OA^2} = \sqrt{125 - 25} = \sqrt{100} = 10\) (см). Расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\) равно длине перпендикуляра \(DO\), то есть 10 см.
Ответ: 10 см.
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC = 4\sqrt{5}\) см, \(AC = 8\) см. Точка \(D\) расположена на расстоянии \(5\sqrt{5}\) см от каждой вершины треугольника \(ABC\). Найдите расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\).
Дано:
\(AB = BC = 4\sqrt{5}\) см
\(AC = 8\) см
\(DA = DB = DC = 5\sqrt{5}\) см
Найти: расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\).
Решение: Пусть \(BH\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведённая к основанию \(AC\); она является и медианой, поэтому \(AH = 4\) см. Из прямоугольного треугольника \(AHB\): \(BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{80 - 16} = \sqrt{64} = 8\) (см). Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\) (см\(^2\)), а радиус его описанной окружности \(R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{4\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 8}{4 \cdot 32} = \frac{640}{128} = 5\) (см). Центр \(O\) этой окружности лежит на прямой \(BH\) — серединном перпендикуляре к стороне \(AC\).
Точка \(D\) не лежит в плоскости \(ABC\): точка этой плоскости, равноудалённая от вершин треугольника, — центр \(O\) его описанной окружности, а он удалён от вершин на 5 см, тогда как точка \(D\) — на \(5\sqrt{5}\) см. Опустим из точки \(D\) перпендикуляр на плоскость \(ABC\). Если точка, не принадлежащая плоскости многоугольника, равноудалена от его вершин, то проекцией этой точки на плоскость многоугольника является центр его описанной окружности. Поэтому основание перпендикуляра — точка \(O\), \(DO \perp ABC\).
Поскольку \(DO \perp ABC\), то \(\angle DOA = 90^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(DOA\): \(DO = \sqrt{DA^2 - OA^2} = \sqrt{125 - 25} = \sqrt{100} = 10\) (см). Расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\) равно длине перпендикуляра \(DO\), то есть 10 см.
Ответ: 10 см.
