Страница 142 номер 12.7, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Отрезок \(BE\) — перпендикуляр к плоскости ромба \(ABCD\) (рис. 12.14). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки \(E\) на прямую \(AC\).
Проведём диагональ \(BD\) ромба; пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). Проведём отрезок \(EO\).
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому \(BO \perp AC\). Отрезок \(BE\) — перпендикуляр к плоскости \(ABC\), точка \(O\) лежит в этой плоскости и не совпадает с \(B\), значит, отрезок \(EO\) — наклонная, а отрезок \(BO\) — проекция наклонной \(EO\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(BO\) наклонной \(EO\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(AC \perp EO\).
Точка \(O\) лежит на прямой \(AC\), и \(EO \perp AC\), поэтому отрезок \(EO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(E\) на прямую \(AC\).
Ответ: искомый перпендикуляр — отрезок \(EO\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба.
Отрезок \(BE\) — перпендикуляр к плоскости ромба \(ABCD\) (рис. 12.14). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки \(E\) на прямую \(AC\).
Проведём диагональ \(BD\) ромба; пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). Проведём отрезок \(EO\). Докажем, что \(EO\) — искомый перпендикуляр.
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому \(BO \perp AC\). Отрезок \(BE\) — перпендикуляр к плоскости \(ABC\), точка \(O\) лежит в этой плоскости и не совпадает с \(B\), значит, отрезок \(EO\) — наклонная, а отрезок \(BO\) — проекция наклонной \(EO\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(BO\) наклонной \(EO\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(AC \perp EO\).
Точка \(O\) лежит на прямой \(AC\), и \(EO \perp AC\), поэтому отрезок \(EO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(E\) на прямую \(AC\).
Ответ: искомый перпендикуляр — отрезок \(EO\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба.
