Страница 135 номер 11.27, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\)
\(B \in \beta\)
\(AC \parallel \beta\)
\(BC = 20\) см
\(AC = 15\) см
проекция катета \(BC\) на плоскость \(\beta\) — 12 см

Найти: проекцию гипотенузы \(AB\) на плоскость \(\beta\).

Решение: Прямая \(AC\) параллельна плоскости \(\beta\), поэтому точки \(A\) и \(C\) не лежат в этой плоскости. Опустим из точек \(A\) и \(C\) перпендикуляры \(AA_1\) и \(CC_1\) на плоскость \(\beta\). Точка \(B\) лежит в плоскости \(\beta\), поэтому проекции катета \(BC\) и гипотенузы \(AB\) — отрезки \(BC_1\) и \(BA_1\); по условию \(BC_1 = 12\) см.

Поскольку \(CC_1 \perp \beta\) и \(BC_1 \subset \beta\), то \(\angle CC_1B = 90^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(CC_1B\): \(CC_1 = \sqrt{BC^2 - BC_1^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\) (см).

Прямая \(AC\) параллельна плоскости \(\beta\), а если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от плоскости; поэтому \(AA_1 = CC_1 = 16\) см.

Из прямоугольного треугольника \(ACB\) по теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\) (см).

Поскольку \(AA_1 \perp \beta\) и \(BA_1 \subset \beta\), то \(\angle AA_1B = 90^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(AA_1B\): \(BA_1 = \sqrt{AB^2 - AA_1^2} = \sqrt{625 - 256} = \sqrt{369} = 3\sqrt{41}\) (см).

Ответ: \(3\sqrt{41}\) см.