Страница 137 номер 11.50, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. §11. Перпендикуляр и наклонная. Страница 137. Номер 11.50

Задание / условие:

Основанием пирамиды \(SABC\) является равносторонний треугольник \(ABC\), сторона которого равна \(4\sqrt{2}\) см. Ребро \(SC\) перпендикулярно плоскости основания и равно 2 см. Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(BC\) и \(AB\) соответственно. Найдите расстояние между прямыми \(SM\) и \(CK\).

Дано:
\(SABC\) — пирамида
\(AB = BC = CA = 4\sqrt{2}\) см
\(SC \perp ABC\)
\(SC = 2\) см
\(M\) — середина ребра \(BC\)
\(K\) — середина ребра \(AB\)

Найти: расстояние между прямыми \(SM\) и \(CK\).

Решение: Прямая \(CK\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(SM\) пересекает эту плоскость в точке \(M\), не принадлежащей прямой \(CK\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(SM\) и \(CK\) скрещиваются.

Проведём в плоскости \(ABC\) через точку \(C\) прямую \(l\), перпендикулярную прямой \(CK\), и опустим из точки \(M\) перпендикуляр \(MP\) на прямую \(l\). Прямые \(MP\) и \(CK\) лежат в плоскости \(ABC\), перпендикулярны прямой \(l\) и различны (точка \(M\) не лежит на прямой \(CK\)), поэтому \(MP \parallel CK\). Плоскость \(SMP\) пересекает плоскость \(ABC\) по прямой \(MP\), поэтому прямая \(CK\) в плоскости \(SMP\) не лежит; она параллельна прямой \(MP\) этой плоскости, значит, по признаку параллельности прямой и плоскости \(CK \parallel SMP\). Плоскость \(SMP\) проходит через прямую \(SM\) и параллельна прямой \(CK\), поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми \(SM\) и \(CK\) равно расстоянию между прямой \(CK\) и плоскостью \(SMP\), то есть расстоянию от точки \(C\) до плоскости \(SMP\).

Опустим из точки \(C\) перпендикуляр \(CF\) на прямую \(SP\). Поскольку \(SC \perp ABC\), то \(SC \perp MP\); кроме того, \(MP \perp CP\). Прямая \(MP\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(SC\) и \(CP\) плоскости \(SCP\), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(MP \perp SCP\), и, значит, \(MP \perp CF\). Прямая \(CF\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(SP\) и \(MP\) плоскости \(SMP\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CF \perp SMP\), и искомое расстояние равно \(CF\).

график

Медиана \(CK\) равностороннего треугольника \(ABC\) является его биссектрисой, поэтому \(\angle KCM = 30^\circ\); а так как \(\angle KCP = 90^\circ\), то \(\angle MCP = 60^\circ\) и \(\angle CMP = 30^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(MPC\) катет \(CP\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \(CP = \frac{1}{2} CM = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}\) (см).

график

Поскольку \(SC \perp ABC\), то \(\angle SCP = 90^\circ\), и из прямоугольного треугольника \(SCP\) находим \(SP = \sqrt{SC^2 + CP^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}\) (см).

график