Страница 142 номер 12.8, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямая \(MA\) перпендикулярна плоскости параллелограмма \(ABCD\), \(MD \perp CD\). Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) — прямоугольник.
Отрезок \(MA\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(M\) на плоскость \(ABC\). Точка \(D\) лежит в плоскости \(ABC\) и не совпадает с \(A\), значит, отрезок \(MD\) — наклонная, а отрезок \(AD\) — проекция наклонной \(MD\) на плоскость \(ABC\).
Прямая \(CD\) принадлежит плоскости \(ABC\) и по условию перпендикулярна наклонной \(MD\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(CD \perp AD\), то есть \(\angle ADC = 90^\circ\).
Параллелограмм, у которого один из углов прямой, является прямоугольником, следовательно, \(ABCD\) — прямоугольник.
Ответ: четырёхугольник \(ABCD\) — прямоугольник.
Прямая \(MA\) перпендикулярна плоскости параллелограмма \(ABCD\), \(MD \perp CD\). Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) — прямоугольник.
Прямая \(MA\) перпендикулярна плоскости параллелограмма и пересекает её в точке \(A\), поэтому отрезок \(MA\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(M\) на плоскость \(ABC\). Точка \(D\) лежит в плоскости \(ABC\) и не совпадает с \(A\), значит, отрезок \(MD\) — наклонная, а отрезок \(AD\) — проекция наклонной \(MD\) на плоскость \(ABC\).
Прямая \(CD\) принадлежит плоскости \(ABC\) и по условию перпендикулярна наклонной \(MD\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(CD \perp AD\), то есть \(\angle ADC = 90^\circ\).
Параллелограмм, у которого один из углов прямой, является прямоугольником, следовательно, \(ABCD\) — прямоугольник.
Ответ: четырёхугольник \(ABCD\) — прямоугольник.
