Страница 135 номер 11.28, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — ромб
\(AD \subset \alpha\)
расстояние от прямой \(BC\) до плоскости \(\alpha\) — 3 см
\(AC = 8\) см
\(BD = 6\) см

Найти: проекции отрезков \(CD\), \(AC\) и \(BD\) на плоскость \(\alpha\).

Решение: Прямая \(BC\) не лежит в плоскости \(\alpha\) (она удалена от этой плоскости на 3 см) и параллельна прямой \(AD\), лежащей в плоскости \(\alpha\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(BC \parallel \alpha\). Пусть \(B_1\) и \(C_1\) — проекции точек \(B\) и \(C\) на плоскость \(\alpha\). Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости, поэтому \(BB_1 = CC_1 = 3\) см.

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(\angle AOD = 90^\circ\), \(AO = 4\) см, \(DO = 3\) см.

Из прямоугольного треугольника \(AOD\) по теореме Пифагора \(AD = \sqrt{AO^2 + DO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) (см), значит, \(CD = AD = 5\) см.

Точки \(A\) и \(D\) лежат в плоскости \(\alpha\). Точка \(D\) не совпадает с точками \(C_1\) и \(B_1\), а точка \(A\) — с точкой \(C_1\): иначе отрезок \(CD\), \(BD\) или \(CA\) был бы перпендикуляром к плоскости \(\alpha\) длиной 3 см, а \(CD = 5\) см, \(BD = 6\) см, \(CA = 8\) см. Значит, \(CD\) и \(CA\) — наклонные, проведённые из точки \(C\) к плоскости \(\alpha\), а \(BD\) — наклонная, проведённая из точки \(B\); их проекции на плоскость \(\alpha\) — отрезки \(C_1D\), \(C_1A\) и \(B_1D\).

Поскольку \(CC_1 \perp \alpha\) и \(BB_1 \perp \alpha\), то \(\angle CC_1D = \angle CC_1A = \angle BB_1D = 90^\circ\). По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников \(CC_1D\), \(CC_1A\) и \(BB_1D\):

\[\begin{aligned} C_1D &= \sqrt{CD^2 - CC_1^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \text{ (см)}; \\ C_1A &= \sqrt{CA^2 - CC_1^2} = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{55} \text{ (см)}; \\ B_1D &= \sqrt{BD^2 - BB_1^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Ответ: проекции отрезков \(CD\), \(AC\) и \(BD\) на плоскость \(\alpha\) равны соответственно 4 см, \(\sqrt{55}\) см и \(3\sqrt{3}\) см.