Страница 134 номер 11.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(AB\) и \(AC\) — наклонные к плоскости \(\alpha\)
наклонные \(AB\) и \(AC\) образуют со своими проекциями углы по \(30^\circ\)
угол между проекциями наклонных — \(90^\circ\)
\(BC = 6\) см

Найти: \(AB\), \(AC\) и расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\).

Решение: Пусть \(AO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(A\) на плоскость \(\alpha\); тогда расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно \(AO\), а отрезки \(OB\) и \(OC\) — проекции наклонных \(AB\) и \(AC\). Поскольку \(AO \perp \alpha\), то \(\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ\). Наклонные образуют со своими проекциями углы \(ABO\) и \(ACO\), поэтому \(\angle ABO = \angle ACO = 30^\circ\); угол \(BOC\) между проекциями \(OB\) и \(OC\) равен \(90^\circ\).

Пусть \(AO = h\) см. В прямоугольном треугольнике \(AOB\) катет \(AO\) лежит против угла в \(30^\circ\), поэтому он равен половине гипотенузы: \(AB = 2h\) см.

По теореме Пифагора \(OB = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{4h^2 - h^2} = h\sqrt{3}\) (см). Так же из прямоугольного треугольника \(AOC\), в котором \(\angle ACO = 30^\circ\), получаем \(AC = 2h\) см и \(OC = h\sqrt{3}\) см.

Треугольник \(BOC\) — прямоугольный (\(\angle BOC = 90^\circ\)), поэтому по теореме Пифагора \(OB^2 + OC^2 = BC^2\):

\[\begin{aligned} (h\sqrt{3})^2 + (h\sqrt{3})^2 &= 6^2; \\ 6h^2 &= 36; \qquad | : 6 \\ h^2 &= 6. \end{aligned}\]

Поскольку \(h > 0\), то \(h = \sqrt{6}\). Следовательно, \(AO = \sqrt{6}\) см, \(AB = AC = 2\sqrt{6}\) см.

Ответ: \(AB = AC = 2\sqrt{6}\) см; расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно \(\sqrt{6}\) см.