Страница 141 номер 12.4, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямая \(AO\) перпендикулярна плоскости окружности с центром \(O\) (рис. 12.11). Прямая \(a\) принадлежит плоскости окружности и касается данной окружности в точке \(B\). Докажите, что \(AB \perp a\).
Отрезок \(AO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(A\) на плоскость окружности. Точка \(B\) лежит на окружности, то есть в плоскости окружности, и не совпадает с центром \(O\), значит, отрезок \(AB\) — наклонная, а отрезок \(OB\) — проекция наклонной \(AB\) на плоскость окружности.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(a \perp OB\). Прямая \(a\) принадлежит плоскости окружности и перпендикулярна проекции \(OB\) наклонной \(AB\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(a \perp AB\).
Ответ: прямые \(AB\) и \(a\) перпендикулярны.
Прямая \(AO\) перпендикулярна плоскости окружности с центром \(O\) (рис. 12.11). Прямая \(a\) принадлежит плоскости окружности и касается данной окружности в точке \(B\). Докажите, что \(AB \perp a\).
Прямая \(AO\) перпендикулярна плоскости окружности и пересекает её в центре \(O\), поэтому отрезок \(AO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(A\) на плоскость окружности. Точка \(B\) лежит на окружности, то есть в плоскости окружности, и не совпадает с центром \(O\), значит, отрезок \(AB\) — наклонная, а отрезок \(OB\) — проекция наклонной \(AB\) на плоскость окружности.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(a \perp OB\). Прямая \(a\) принадлежит плоскости окружности и перпендикулярна проекции \(OB\) наклонной \(AB\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(a \perp AB\).
Ответ: прямые \(AB\) и \(a\) перпендикулярны.
