Страница 137 номер 11.54, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(\triangle ABC\)
\(AB = BC\)
\(K\) — точка касания вписанной окружности со стороной \(AB\)
\(AK : KB = 12 : 25\)
\(S_{ABC} = 1680\) см\(^2\)

Найти: \(r\) — радиус вписанной окружности.

Решение: Пусть вписанная окружность касается сторон \(BC\) и \(AC\) в точках \(L\) и \(M\). Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: \(AM = AK\), \(BL = BK\), \(CL = CM\). Положим \(AK = 12x\) см, \(KB = 25x\) см; тогда \(AB = BC = 37x\) см, \(CL = BC - BL = 37x - 25x = 12x\) (см), поэтому \(AM = CM = 12x\) см и \(AC = 24x\) см.

Точка \(M\) — середина основания \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\), поэтому медиана \(BM\) является высотой, и из прямоугольного треугольника \(ABM\) находим \(BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{(37x)^2 - (12x)^2} = 35x\) (см).

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(\frac{1}{2} AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 24x \cdot 35x = 420x^2\), поэтому \(420x^2 = 1680\), \(x^2 = 4\) и \(x = 2\) (так как \(x > 0\)). Тогда \(AB = BC = 74\) см, \(AC = 48\) см, полупериметр треугольника \(p = \frac{74 + 74 + 48}{2} = 98\) (см), и

\[r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{1680}{98} = \frac{120}{7} \text{ (см)}.\]

Ответ: \(\frac{120}{7}\) см.