Страница 141 номер 12.2, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рисунке 12.9 изображён ромб \(ABCD\). Прямая \(FC\) перпендикулярна его плоскости. Докажите, что прямые \(AF\) и \(BD\) перпендикулярны.
Отрезок \(FC\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(F\) на плоскость \(ABC\). Точка \(A\) лежит в плоскости \(ABC\) и не совпадает с \(C\), значит, отрезок \(AF\) — наклонная, а отрезок \(AC\) — проекция наклонной \(AF\) на плоскость \(ABC\).
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому \(BD \perp AC\). Прямая \(BD\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(AC\) наклонной \(AF\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(BD \perp AF\).
Ответ: прямые \(AF\) и \(BD\) перпендикулярны.
На рисунке 12.9 изображён ромб \(ABCD\). Прямая \(FC\) перпендикулярна его плоскости. Докажите, что прямые \(AF\) и \(BD\) перпендикулярны.
Прямая \(FC\) перпендикулярна плоскости ромба и пересекает её в точке \(C\), поэтому отрезок \(FC\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(F\) на плоскость \(ABC\). Точка \(A\) лежит в плоскости \(ABC\) и не совпадает с \(C\), значит, отрезок \(AF\) — наклонная, а отрезок \(AC\) — проекция наклонной \(AF\) на плоскость \(ABC\).
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому \(BD \perp AC\). Прямая \(BD\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(AC\) наклонной \(AF\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(BD \perp AF\).
Ответ: прямые \(AF\) и \(BD\) перпендикулярны.
