Страница 134 номер 11.16, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, бо́льшую проекцию имеет бо́льшая наклонная.
Пусть из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\) проведены перпендикуляр \(MO\) и наклонные \(MA\) и \(MB\), причём \(MA > MB\); отрезки \(OA\) и \(OB\) — проекции этих наклонных.
Поскольку \(MO \perp \alpha\), то \(\angle MOA = \angle MOB = 90^\circ\). Из прямоугольных треугольников \(MOA\) и \(MOB\) по теореме Пифагора \(OA^2 = MA^2 - MO^2\) и \(OB^2 = MB^2 - MO^2\). Поскольку \(MA > MB\), то \(MA^2 > MB^2\), поэтому \(MA^2 - MO^2 > MB^2 - MO^2\), то есть \(OA^2 > OB^2\). Длины отрезков положительны, следовательно, \(OA > OB\).
Ответ: из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, бо́льшую проекцию имеет бо́льшая наклонная.
Докажите, что из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, бо́льшую проекцию имеет бо́льшая наклонная.
Пусть из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\) проведены перпендикуляр \(MO\) и наклонные \(MA\) и \(MB\), причём \(MA > MB\); отрезки \(OA\) и \(OB\) — проекции этих наклонных. Докажем, что \(OA > OB\).
Поскольку \(MO \perp \alpha\), то \(\angle MOA = \angle MOB = 90^\circ\). Из прямоугольных треугольников \(MOA\) и \(MOB\) по теореме Пифагора \(OA^2 = MA^2 - MO^2\) и \(OB^2 = MB^2 - MO^2\). Поскольку \(MA > MB\), то \(MA^2 > MB^2\), поэтому \(MA^2 - MO^2 > MB^2 - MO^2\), то есть \(OA^2 > OB^2\). Длины отрезков положительны, следовательно, \(OA > OB\).
Ответ: из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, бо́льшую проекцию имеет бо́льшая наклонная.
