Страница 430 номер 1600, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\sin x + \cos x = \sqrt{1 + \operatorname{tg} x}\)
\(\left( \sin x + \cos x \right)^{2} = \dfrac{\cos x + \sin x}{\cos x};\)

Область допустимых значений: \(\cos x \neq 0\), \(\operatorname{tg} x \geqslant - 1\), \(\sin x + \cos x \geqslant 0\);

\(\left( \sin x + \cos x \right)\left( \left( \sin x + \cos x \right)\cos x - 1 \right) = 0,\)
\(\sin x + \cos x = 0\) или \(\sin x\cos x + \cos^{2}x - 1 = 0\)
\(\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 0\) или \(\sin x\left( \cos x - \sin x \right) = 0\)
\(x_{1} = \pi n - \dfrac{\pi}{4}, n \in Z;\)
\(x_{2} = \pi n, n \in Z;\)
\(\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) = 0,\)
\(x_{3} = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z;\)
\(x_{2}\) и \(x_{3}\) при нечётных \(n\) – не входят в ОДЗ, т.к. \(\sin x + \cos x = - 1\) и \(\sin x + \cos x = - \sqrt{2}\);

Ответ: \(x = \pi n - \frac{\pi}{4}\), \(x = 2\pi n\), \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), \(n \in Z\);

2) \(\sqrt{5\sin{2x} - 2} = \sin x - \cos x\)

Область допустимых значений:

\(\sin x - \cos x \geqslant 0,\)
\(\sin\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \geqslant 0,\)
\(\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z;\)
\(5\sin{2x} - 2 = 1 - \sin{2x},\)
\(6\sin{2x} = 3,\)
\(\sin{2x} = \dfrac{1}{2},\)
\(x = (-1)^{n} \cdot \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi n}{2}, n \in Z;\)
\(x = \frac{\pi}{12}\), \(\frac{5\pi}{12}\), \(\frac{13\pi}{12}\), \(\frac{17\pi}{12}\) при \(n = 0\), \(1\), \(2\), \(3\), дальше – с периодом \(2\pi\);
\(\frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{4}\) и \(\frac{17\pi}{12} > \frac{5\pi}{4}\) – не входят в ОДЗ;

Ответ: \(x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n\), \(x = \frac{13\pi}{12} + 2\pi n\), \(n \in Z\).