Страница 429 номер 1597, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(9 \cdot 4^{\frac{1}{x}} + 5 \cdot 6^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot 9^{\frac{1}{x}}\)

Область допустимых значений: \(x \neq 0\);

\(3^{2} \cdot 2^{\frac{2}{x}} + 5 \cdot 2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} = 2^{2} \cdot 3^{\frac{2}{x}},\)
\(9\left( \dfrac{2}{3} \right)^{\frac{2}{x}} + 5\left( \dfrac{2}{3} \right)^{\frac{1}{x}} = 4,\)
\(\left( \dfrac{2}{3} \right)^{\frac{1}{x}} = z, z > 0\)
\(9z^{2} + 5z - 4 = 0,\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{18},\)
\(z_{1} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}\), \(z_{2} = - 1\) – не удовлетворяет условию \(z > 0\);
\(\left( \dfrac{2}{3} \right)^{\frac{1}{x}} = \dfrac{4}{9},\)
\(\dfrac{1}{x} = 2,\)
\(x = \dfrac{1}{2};\)

2) \(\log_{2}\left( x^{2} - 3 \right) - \log_{2}(6x - 10) + 1 = 0\)

Область допустимых значений:

\(\begin{cases} x^{2} - 3 > 0 \\ 6x - 10 > 0 \end{cases},\)
\(\begin{cases} x^{2} > 3 \\ x > \frac{5}{3} \end{cases};\)
\(\log_{2}\dfrac{x^{2} - 3}{6x - 10} = \log_{2}\dfrac{1}{2},\)
\(\dfrac{x^{2} - 3}{6x - 10} = \dfrac{1}{2}, x \neq \dfrac{5}{3}\)
\(2x^{2} - 6 - 6x + 10 = 0,\)
\(x^{2} - 3x + 2 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2},\)
\(x_{1} = 1\) – не входит в ОДЗ,
\(x_{2} = 2;\)

Ответ: \(x = 2\);

3) \(2\log_{2}x - 2\log_{2}\frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{\log_{2}x}\)

Область допустимых значений: \(x > 0\), \(\log_{2}x \geqslant 0\), \(x \geqslant 1\);

\(2\log_{2}x + 1 = 3\sqrt{\log_{2}x},\)
\(\sqrt{\log_{2}x} = z, z \geqslant 0\)
\(2z^{2} + 1 - 3z = 0,\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4},\)
\(z_{1} = 1, z_{2} = \dfrac{1}{2};\)
\(\sqrt{\log_{2}x} = 1\) или \(\sqrt{\log_{2}x} = \frac{1}{2}\),
\(\log_{2}x = 1\) или \(\log_{2}x = \frac{1}{4}\),
\(x = 2\) или \(x = \sqrt[4]{2}\);

4) \(\log_{x}\left( 2x^{2} - 3x - 4 \right) = 2\)

Область допустимых значений:

\(2x^{2} - 3x - 4 > 0, x > 0, x \neq 1;\)
\(2x^{2} - 3x - 4 = x^{2},\)
\(x^{2} - 3x - 4 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2},\)
\(x_{1} = 4\), \(x_{2} = - 1\) – не входит в ОДЗ;

Ответ: \(x = 4\).