Страница 28 номер 3.22, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC}\), где \(O\) — произвольная точка пространства.
Рассмотрим разность правой и левой частей равенства. Воспользуемся правилом нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки: \[\begin{aligned} &(\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC}) - (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1}) = {} \\ &= (\overrightarrow{OA_1} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OC_1}) = {} \\ &= \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{C_1C}. \end{aligned}\] Грани \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) параллелепипеда — параллелограммы, поэтому \(\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{B_1B} = \overrightarrow{A_1A}\), и по правилу треугольника \[\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1A} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}.\]
Разность правой и левой частей равна нулевому вектору, поэтому по определению разности векторов \(\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC} = \vec{0} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1}) = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1}\). Точка \(O\) выбрана произвольно, значит, равенство верно для любой точки пространства.
Ответ: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC}\) для любой точки \(O\) пространства.
Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC}\), где \(O\) — произвольная точка пространства.
Рассмотрим разность правой и левой частей равенства. Сгруппируем векторы с общим началом \(O\) и воспользуемся правилом нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки: \[\begin{aligned} &(\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC}) - (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1}) = {} \\ &= (\overrightarrow{OA_1} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OC_1}) = {} \\ &= \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{C_1C}. \end{aligned}\] Грани \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) параллелепипеда — параллелограммы, поэтому \(\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{B_1B} = \overrightarrow{A_1A}\), и по правилу треугольника \[\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1A} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}.\]
Разность правой и левой частей равна нулевому вектору, поэтому по определению разности векторов \(\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC} = \vec{0} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1}) = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1}\). Точка \(O\) выбрана произвольно, значит, равенство верно для любой точки пространства.
Ответ: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC}\) для любой точки \(O\) пространства.
