Страница 28 номер 3.23, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}| = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1}|\).
Боковые рёбра \(AA_1\) и \(CC_1\) параллелепипеда параллельны и равны, поэтому четырёхугольник \(AA_1C_1C\) — параллелограмм и \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1}\). По правилу треугольника \[\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AC_1}.\] По правилу нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки, \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1C}\). Значит, \(|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}| = AC_1\) и \(|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1}| = A_1C\).
Параллелепипед прямоугольный, поэтому его боковое ребро \(AA_1\) перпендикулярно плоскости основания \(ABCD\), а значит, и прямой \(AC\), лежащей в этой плоскости. Параллелограмм \(AA_1C_1C\) с прямым углом \(A_1AC\) — прямоугольник, а диагонали прямоугольника равны: \(AC_1 = A_1C\). Следовательно, \(|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}| = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1}|\).
Ответ: \(|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}| = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1}|\): оба модуля равны длине диагонали прямоугольника \(AA_1C_1C\).
