Вопросы после параграфа §7 на странице 75, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Пусть вектор \(\vec{a}\) перпендикулярен плоскости \(\alpha\). При параллельном переносе на вектор \(\vec{a}\) окружность с центром \(O\), принадлежащая плоскости \(\alpha\), переходит в равную ей окружность с центром \(O_1\), лежащую в плоскости, параллельной плоскости \(\alpha\). Все отрезки, которые параллельны вектору \(\vec{a}\) и концы которых лежат на этих окружностях, равны между собой и перпендикулярны плоскости \(\alpha\); они образуют некоторую фигуру \(F\). Окружности с центрами \(O\) и \(O_1\) ограничивают два равных круга. Тело, ограниченное этими кругами и фигурой \(F\), называют цилиндром.

Ответ: цилиндром называют тело, ограниченное двумя равными кругами и фигурой \(F\): круги ограничены окружностью с центром \(O\), лежащей в плоскости \(\alpha\), и её образом при параллельном переносе на вектор \(\vec{a}\), перпендикулярный плоскости \(\alpha\), — окружностью с центром \(O_1\), а фигуру \(F\) образуют все отрезки, которые параллельны вектору \(\vec{a}\) и концы которых лежат на этих окружностях.

Пусть окружность с центром \(O_1\) — образ окружности с центром \(O\), лежащей в плоскости \(\alpha\), при параллельном переносе на вектор \(\vec{a}\), перпендикулярный плоскости \(\alpha\). Все отрезки, которые параллельны вектору \(\vec{a}\) и концы которых лежат на этих окружностях, образуют некоторую фигуру \(F\), а тело, ограниченное фигурой \(F\) и двумя равными кругами с центрами \(O\) и \(O_1\), — цилиндр. Фигуру \(F\) называют боковой поверхностью цилиндра, круги — основаниями цилиндра, отрезки, образующие фигуру \(F\), — образующими цилиндра. Все образующие цилиндра равны и перпендикулярны плоскости основания.

Ответ: боковой поверхностью цилиндра называют фигуру \(F\), которую образуют все отрезки, параллельные вектору \(\vec{a}\), с концами на окружностях оснований цилиндра (окружность одного основания — образ окружности другого основания при параллельном переносе на вектор \(\vec{a}\), перпендикулярный плоскости основания); эти отрезки — образующие цилиндра.

Цилиндр ограничен двумя равными кругами и боковой поверхностью; эти круги называют основаниями цилиндра. Прямую, проходящую через центры оснований цилиндра, называют осью цилиндра; отрезок оси цилиндра, заключённый между его основаниями, перпендикулярен основаниям и равен образующей цилиндра. Радиусом цилиндра называют радиус его основания. Высотой цилиндра называют перпендикуляр, проведённый из любой точки плоскости одного основания к плоскости другого основания; любая образующая цилиндра является его высотой.

Ответ: основаниями цилиндра называют два равных круга, которые вместе с боковой поверхностью ограничивают цилиндр; осью цилиндра называют прямую, проходящую через центры его оснований; радиусом цилиндра называют радиус его основания; высотой цилиндра называют перпендикуляр, проведённый из любой точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.

Пусть даны фигура \(F\) и прямая \(a\), лежащие в одной плоскости. Рассмотрим все точки, полученные в результате поворота точек фигуры \(F\) вокруг прямой \(a\) на произвольные углы. Если множество полученных точек является телом, то его называют телом вращения. Любое тело вращения имеет ось симметрии — ось вращения. Например, цилиндр можно рассматривать как тело, полученное в результате вращения прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону.

Ответ: если фигура \(F\) и прямая \(a\) лежат в одной плоскости, а множество всех точек, полученных в результате поворота точек фигуры \(F\) вокруг прямой \(a\) на произвольные углы, является телом, то это тело называют телом вращения.

Рассмотрим в пространстве прямую \(a\) и не принадлежащую ей точку \(A\). Проведём через точку \(A\) плоскость \(\alpha\), перпендикулярную прямой \(a\); пусть эта плоскость пересекает прямую \(a\) в точке \(O\). Если в плоскости \(\alpha\) точка \(A_1\) — образ точки \(A\) при повороте вокруг точки \(O\) на угол \(\varphi\), то говорят, что точка \(A_1\) получена в результате поворота точки \(A\) вокруг прямой \(a\) на угол \(\varphi\). Пусть в пространстве даны фигура \(F\) и прямая \(a\). Каждой точке \(X\) фигуры \(F\) поставим в соответствие точку \(X_1\), являющуюся образом точки \(X\) при повороте в одном направлении вокруг прямой \(a\) на угол \(\varphi\) (образом точки, принадлежащей прямой \(a\), считают саму эту точку). Такое преобразование фигуры \(F\) называют поворотом вокруг прямой \(a\). Прямую \(a\) называют осью вращения.

Ответ: осью вращения называют прямую \(a\), вокруг которой выполняют поворот фигуры \(F\) — преобразование, при котором каждой точке \(X\) фигуры \(F\) ставят в соответствие точку \(X_1\), являющуюся образом точки \(X\) при повороте в одном направлении вокруг прямой \(a\) на угол \(\varphi\).

Если пересечь цилиндр плоскостью, проходящей через его ось, то в сечении образуется прямоугольник, две стороны которого — диаметры оснований цилиндра, а две другие — образующие цилиндра. Такое сечение называют осевым сечением цилиндра. Например, \(ABB_1A_1\) — осевое сечение цилиндра с осью \(OO_1\): \(AB\) и \(A_1B_1\) — диаметры оснований, \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие.

Плоскость, содержащая осевое сечение цилиндра, является его плоскостью симметрии.

Ответ: осевым сечением цилиндра называют сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось; это прямоугольник, две стороны которого — диаметры оснований цилиндра, а две другие — образующие цилиндра.

Рассмотрим осевое сечение \(AA_1B_1B\) цилиндра. Через образующую \(AA_1\) проведём плоскость \(\alpha\) перпендикулярно плоскости \(AA_1B_1\). Плоскость \(\alpha\) называют касательной плоскостью к цилиндру. Также говорят, что плоскость \(\alpha\) касается цилиндра по образующей \(AA_1\).

Ответ: касательной плоскостью к цилиндру называют плоскость, которая проходит через образующую \(AA_1\) цилиндра перпендикулярно плоскости его осевого сечения \(AA_1B_1B\); говорят, что эта плоскость касается цилиндра по образующей \(AA_1\).

Представим себе, что поверхность цилиндра разрезали по окружностям оснований и некоторой образующей, а затем развернули на плоскости. Полученную фигуру называют развёрткой цилиндра на плоскость или просто развёрткой цилиндра. Она состоит из двух кругов, равных основаниям цилиндра, и прямоугольника, который называют развёрткой боковой поверхности цилиндра. Если образующая цилиндра равна \(h\), а радиус основания цилиндра равен \(r\), то стороны развёртки боковой поверхности цилиндра равны \(h\) и \(2\pi r\).

Ответ: развёртка цилиндра состоит из двух кругов, равных основаниям цилиндра, и прямоугольника — развёртки боковой поверхности цилиндра со сторонами \(h\) и \(2\pi r\), где \(h\) — образующая цилиндра, \(r\) — радиус его основания.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь развёртки его боковой поверхности — прямоугольника со сторонами \(h\) и \(2\pi r\). Следовательно, \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh\), где \(S_{\text{бок}}\) — площадь боковой поверхности цилиндра, \(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — длина высоты цилиндра.

Ответ: \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh\), где \(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — его высота.

Площадью полной поверхности цилиндра называют сумму площадей боковой поверхности цилиндра и двух оснований: \(S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}\), где \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания цилиндра. Площадь основания цилиндра равна \(\pi r^2\), а \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh\), поэтому \(S_{\text{полн}} = 2\pi rh + 2\pi r^2\).

Ответ: \(S_{\text{полн}} = 2\pi rh + 2\pi r^2\), где \(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — его высота.