Страница 12 номер 1.35, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известны координаты четырёх вершин: \(A(2; -1; 1)\), \(B(1; 3; 4)\), \(D(6; 0; 1)\), \(A_1(4; 2; 0)\). Найдите координаты остальных вершин параллелепипеда.
Каждая грань параллелепипеда — параллелограмм, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Поэтому у двух диагоналей каждой грани общая середина.
Грань \(ABCD\): середина диагонали \(BD\) — точка \(\left(\frac{1 + 6}{2}; \frac{3 + 0}{2}; \frac{4 + 1}{2}\right)\), то есть \((3{,}5; 1{,}5; 2{,}5)\); она же — середина диагонали \(AC\). Для \(C(x; y; z)\) получаем \(\frac{2 + x}{2} = 3{,}5\), \(\frac{-1 + y}{2} = 1{,}5\), \(\frac{1 + z}{2} = 2{,}5\), откуда \(C(5; 4; 4)\).
Грань \(ABB_1A_1\): середина диагонали \(BA_1\) — точка \(\left(\frac{1 + 4}{2}; \frac{3 + 2}{2}; \frac{4 + 0}{2}\right)\), то есть \((2{,}5; 2{,}5; 2)\); она же — середина диагонали \(AB_1\). Для \(B_1(x; y; z)\) получаем \(\frac{2 + x}{2} = 2{,}5\), \(\frac{-1 + y}{2} = 2{,}5\), \(\frac{1 + z}{2} = 2\), откуда \(B_1(3; 6; 3)\).
Грань \(ADD_1A_1\): середина диагонали \(DA_1\) — точка \(\left(\frac{6 + 4}{2}; \frac{0 + 2}{2}; \frac{1 + 0}{2}\right)\), то есть \((5; 1; 0{,}5)\); она же — середина диагонали \(AD_1\). Для \(D_1(x; y; z)\) получаем \(\frac{2 + x}{2} = 5\), \(\frac{-1 + y}{2} = 1\), \(\frac{1 + z}{2} = 0{,}5\), откуда \(D_1(8; 3; 0)\).
Грань \(A_1B_1C_1D_1\): середина диагонали \(B_1D_1\) — точка \(\left(\frac{3 + 8}{2}; \frac{6 + 3}{2}; \frac{3 + 0}{2}\right)\), то есть \((5{,}5; 4{,}5; 1{,}5)\); она же — середина диагонали \(A_1C_1\). Для \(C_1(x; y; z)\) получаем \(\frac{4 + x}{2} = 5{,}5\), \(\frac{2 + y}{2} = 4{,}5\), \(\frac{0 + z}{2} = 1{,}5\), откуда \(C_1(7; 7; 3)\).
Ответ: \(C(5; 4; 4)\), \(B_1(3; 6; 3)\), \(C_1(7; 7; 3)\), \(D_1(8; 3; 0)\).
В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известны координаты четырёх вершин: \(A(2; -1; 1)\), \(B(1; 3; 4)\), \(D(6; 0; 1)\), \(A_1(4; 2; 0)\). Найдите координаты остальных вершин параллелепипеда.
Каждая грань параллелепипеда — параллелограмм, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Поэтому у двух диагоналей каждой грани общая середина, а каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
Грань \(ABCD\): середина диагонали \(BD\) — точка \(\left(\frac{1 + 6}{2}; \frac{3 + 0}{2}; \frac{4 + 1}{2}\right)\), то есть \((3{,}5; 1{,}5; 2{,}5)\); она же — середина диагонали \(AC\). Для \(C(x; y; z)\) получаем \(\frac{2 + x}{2} = 3{,}5\), \(\frac{-1 + y}{2} = 1{,}5\), \(\frac{1 + z}{2} = 2{,}5\), откуда \(C(5; 4; 4)\).
Грань \(ABB_1A_1\): середина диагонали \(BA_1\) — точка \(\left(\frac{1 + 4}{2}; \frac{3 + 2}{2}; \frac{4 + 0}{2}\right)\), то есть \((2{,}5; 2{,}5; 2)\); она же — середина диагонали \(AB_1\). Для \(B_1(x; y; z)\) получаем \(\frac{2 + x}{2} = 2{,}5\), \(\frac{-1 + y}{2} = 2{,}5\), \(\frac{1 + z}{2} = 2\), откуда \(B_1(3; 6; 3)\).
Грань \(ADD_1A_1\): середина диагонали \(DA_1\) — точка \(\left(\frac{6 + 4}{2}; \frac{0 + 2}{2}; \frac{1 + 0}{2}\right)\), то есть \((5; 1; 0{,}5)\); она же — середина диагонали \(AD_1\). Для \(D_1(x; y; z)\) получаем \(\frac{2 + x}{2} = 5\), \(\frac{-1 + y}{2} = 1\), \(\frac{1 + z}{2} = 0{,}5\), откуда \(D_1(8; 3; 0)\).
Грань \(A_1B_1C_1D_1\): середина диагонали \(B_1D_1\) — точка \(\left(\frac{3 + 8}{2}; \frac{6 + 3}{2}; \frac{3 + 0}{2}\right)\), то есть \((5{,}5; 4{,}5; 1{,}5)\); она же — середина диагонали \(A_1C_1\). Для \(C_1(x; y; z)\) получаем \(\frac{4 + x}{2} = 5{,}5\), \(\frac{2 + y}{2} = 4{,}5\), \(\frac{0 + z}{2} = 1{,}5\), откуда \(C_1(7; 7; 3)\).
Ответ: \(C(5; 4; 4)\), \(B_1(3; 6; 3)\), \(C_1(7; 7; 3)\), \(D_1(8; 3; 0)\).
