Страница 152 номер 13.43, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Через точку \(A\) проведены прямые, касающиеся окружности радиусом 4 см в точках \(B\) и \(C\). Угол \(BAC\) равен \(60^\circ\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
Дано:
\(AB\), \(AC\) — касательные к окружности с центром \(O\)
\(B\), \(C\) — точки касания
\(r = 4\) см
\(\angle BAC = 60^\circ\)
Найти: \(S_{ABC}\).
Решение: Радиусы \(OB\) и \(OC\), проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: \(OB \perp AB\), \(OC \perp AC\). Прямоугольные треугольники \(ABO\) и \(ACO\) равны по гипотенузе \(AO\) и катету (\(OB = OC = r\)), поэтому \(AB = AC\) и \(\angle BAO = \angle CAO = \frac{1}{2}\angle BAC = 30^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(ABO\): \[AB = OB \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ = 4\sqrt{3} \text{ (см)}.\]
Тогда \[S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ (см}^2\text{)}.\]
Ответ: \(12\sqrt{3}\) см\(^2\).
