Страница 153 номер 13.44, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Пусть \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) — медианы треугольника \(ABC\), \(AA_1 = 6\) см, \(BB_1 = 10\) см, \(CC_1 = 4\sqrt{5}\) см; обозначим \(BC = a\), \(AC = b\), \(AB = c\).

По формуле медианы треугольника \(AA_1^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}\), \(BB_1^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}\), \(CC_1^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}\). Подставив данные, получаем систему \[\begin{cases} 2b^2 + 2c^2 - a^2 = 144, \\ 2a^2 + 2c^2 - b^2 = 400, \\ 2a^2 + 2b^2 - c^2 = 320. \end{cases}\]

Сложив уравнения системы, получаем: \(3(a^2 + b^2 + c^2) = 864\), откуда \(a^2 + b^2 + c^2 = 288\). Тогда первое уравнение системы можно записать так: \[\begin{aligned} 2(a^2 + b^2 + c^2) - 3a^2 &= 144; \\ 576 - 3a^2 &= 144; \\ 3a^2 &= 432; \qquad | : 3 \\ a^2 &= 144. \end{aligned}\]

Аналогично из второго и третьего уравнений \(3b^2 = 576 - 400 = 176\) и \(3c^2 = 576 - 320 = 256\), то есть \(b^2 = \frac{176}{3}\) и \(c^2 = \frac{256}{3}\). Значит, \[b^2 + c^2 = \frac{176 + 256}{3} = \frac{432}{3} = 144 = a^2.\]

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник \(ABC\) прямоугольный, и его прямой угол \(A\) лежит против стороны \(BC = a\).

Ответ: треугольник с медианами 6 см, 10 см и \(4\sqrt{5}\) см прямоугольный; прямой угол — при вершине, из которой проведена медиана длиной 6 см.