Страница 144 номер 12.28, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сторона \(AC\) треугольника \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\), а точка \(B\) удалена от плоскости \(\alpha\) на 5 см. Проекции отрезков \(AB\) и \(BC\) на плоскость \(\alpha\) равны соответственно 12 см и 15 см, \(AC = 9\) см. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
Дано:
\(\triangle ABC\), \(AC \subset \alpha\)
\(BM \perp \alpha\), \(M \in \alpha\)
\(BM = 5\) см
\(AM = 12\) см
\(CM = 15\) см
\(AC = 9\) см
Найти: \(S_{ABC}\).
Решение: Точка \(M\) — проекция точки \(B\) на плоскость \(\alpha\), поэтому длина перпендикуляра \(BM\) — расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\), а отрезки \(MA\) и \(MC\) — проекции отрезков \(BA\) и \(BC\) на эту плоскость.
В треугольнике \(ACM\) имеем: \(AC^2 + AM^2 = 9^2 + 12^2 = 225 = 15^2 = CM^2\). По теореме, обратной теореме Пифагора, \(\angle CAM = 90^\circ\), т. е. \(AC \perp AM\).
Отрезок \(MA\) является проекцией наклонной \(BA\) на плоскость \(\alpha\) (точки \(A\) и \(M\) различны, так как \(AM = 12\) см). Прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\alpha\) и перпендикулярна проекции \(MA\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(AC \perp BA\), т. е. \(\angle BAC = 90^\circ\).
Поскольку \(BM \perp \alpha\), то \(\angle BMA = 90^\circ\). Из \(\triangle BMA\) получаем, что \[AB = \sqrt{BM^2 + AM^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 \text{ (см)}.\]
Треугольник \(ABC\) прямоугольный с катетами \(AB\) и \(AC\), поэтому \[S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 9 = 58{,}5 \text{ (см}^2\text{)}.\]
Ответ: \(58{,}5\) см\(^2\).
