Страница 144 номер 12.29, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сторона равностороннего треугольника \(ABC\) равна 6 см. Точка \(M\) удалена от плоскости \(ABC\) на 1 см, а от вершины \(B\) — на 2 см. Известно, что прямые \(MB\) и \(AC\) перпендикулярны. Найдите расстояние от точки \(M\) до прямой \(AC\).
Дано:
\(AB = BC = CA = 6\) см
расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\) равно 1 см
\(MB = 2\) см
\(MB \perp AC\)
Найти: расстояние от точки \(M\) до прямой \(AC\).
Решение: Пусть \(O\) — проекция точки \(M\) на плоскость \(ABC\); длина перпендикуляра \(MO\) — расстояние от точки \(M\) до этой плоскости, т. е. \(MO = 1\) см. Точка \(O\) отлична от точки \(B\) (иначе было бы \(MB = MO = 1\) см), поэтому \(MB\) — наклонная, а \(OB\) — её проекция. Поскольку \(MO \perp ABC\), то \(\angle MOB = 90^\circ\) и \[OB = \sqrt{MB^2 - MO^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} \text{ (см)}.\]
Прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна наклонной \(MB\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна и проекции этой наклонной: \(AC \perp OB\).
Пусть \(BH\) — высота треугольника \(ABC\). В равностороннем треугольнике высота является и медианой, поэтому \(AH = 3\) см и \(BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{36 - 9} = 3\sqrt{3}\) (см). В плоскости \(ABC\) через точку \(B\) проходит только одна прямая, перпендикулярная прямой \(AC\), — прямая \(BH\), поэтому точка \(O\) лежит на прямой \(BH\). Точка \(O\) не совпадает с точкой \(H\) (\(OB = \sqrt{3}\) см, а \(BH = 3\sqrt{3}\) см), значит, \(OH \perp AC\).
Отрезок \(OH\) является проекцией наклонной \(MH\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(OH\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(AC \perp MH\). Значит, длина отрезка \(MH\) — расстояние от точки \(M\) до прямой \(AC\), и из прямоугольного треугольника \(MOH\) (\(\angle MOH = 90^\circ\)) получаем, что \(MH = \sqrt{MO^2 + OH^2}\). На прямой \(BH\) две точки удалены от точки \(B\) на \(\sqrt{3}\) см, поэтому возможны два случая.
Если точка \(O\) лежит на отрезке \(BH\), то \(OH = BH - OB = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) (см) и \(MH = \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13}\) (см).
Если точка \(O\) лежит на продолжении отрезка \(HB\) за точку \(B\), то \(OH = BH + OB = 3\sqrt{3} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\) (см) и \(MH = \sqrt{1 + 48} = 7\) (см).
Ответ: \(\sqrt{13}\) см, если проекция точки \(M\) на плоскость \(ABC\) лежит на высоте \(BH\) треугольника, или 7 см, если она лежит на продолжении этой высоты за точку \(B\).
