Страница 143 номер 12.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. §12. Теорема о трёх перпендикулярах. Страница 143. Номер 12.21

Задание / условие:

Точка \(M\) удалена от параллельных прямых \(a\) и \(b\) соответственно на 10 см и 17 см, а от плоскости, проходящей через прямые \(a\) и \(b\), — на 8 см. Найдите расстояние между прямыми \(a\) и \(b\).

Дано:
\(a \parallel b\)
\(\alpha\) — плоскость, проходящая через прямые \(a\) и \(b\)
расстояние от \(M\) до прямой \(a\) равно 10 см
расстояние от \(M\) до прямой \(b\) равно 17 см
расстояние от \(M\) до плоскости \(\alpha\) равно 8 см

Найти: расстояние между прямыми \(a\) и \(b\).

Решение: Опустим из точки \(M\) перпендикуляр \(MO\) на плоскость \(\alpha\); \(MO = 8\) см. Проведём в плоскости \(\alpha\) через точку \(O\) прямую, перпендикулярную прямой \(a\); она перпендикулярна и параллельной ей прямой \(b\) и пересекает прямые \(a\) и \(b\) в точках \(A\) и \(B\). Точка \(O\) не лежит на прямых \(a\) и \(b\): иначе расстояние от точки \(M\) до этой прямой было бы равно \(MO = 8\) см, а не 10 см или 17 см.

Отрезок \(OA\) является проекцией наклонной \(MA\) на плоскость \(\alpha\). Прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\) и перпендикулярна проекции \(OA\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(a \perp MA\). Значит, длина отрезка \(MA\) — расстояние от точки \(M\) до прямой \(a\): \(MA = 10\) см. Аналогично \(b \perp MB\) и \(MB = 17\) см.

Поскольку \(MO \perp \alpha\), то треугольники \(MOA\) и \(MOB\) прямоугольные, и \[\begin{aligned} OA &= \sqrt{MA^2 - MO^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6 \text{ (см)}; \\ OB &= \sqrt{MB^2 - MO^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Прямая \(AB\) перпендикулярна параллельным прямым \(a\) и \(b\), поэтому расстояние между ними равно \(AB\). Точки \(A\), \(O\), \(B\) лежат на одной прямой, и возможны два случая.

Если точка \(O\) лежит между точками \(A\) и \(B\), т. е. проекция точки \(M\) на плоскость \(\alpha\) лежит между прямыми \(a\) и \(b\), то \(AB = OA + OB = 6 + 15 = 21\) (см).

график

Если точки \(A\) и \(B\) лежат по одну сторону от точки \(O\), т. е. проекция точки \(M\) не лежит между прямыми \(a\) и \(b\), то \(AB = OB - OA = 15 - 6 = 9\) (см).

график