Страница 143 номер 12.16, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(\angle ACB = 90^\circ\)
точка \(M\) не лежит в плоскости \(ABC\)
\(M\) удалена от прямых \(AB\), \(BC\), \(CA\) на \(2\sqrt{5}\) см
\(MO \perp ABC\)
\(O\) принадлежит треугольнику \(ABC\)
точка касания вписанной окружности делит \(AB\) на отрезки 3 см и 10 см

Найти: расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\).

Решение: Точка \(M\) не принадлежит плоскости \(ABC\) и равноудалена от всех прямых, содержащих стороны треугольника \(ABC\), а её проекция \(O\) на плоскость \(ABC\) принадлежит треугольнику. Проекция такой точки на плоскость выпуклого многоугольника — центр окружности, вписанной в многоугольник, а треугольник — выпуклый многоугольник, поэтому \(O\) — центр окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).

Пусть \(r\) — радиус этой окружности, \(N\), \(K\), \(E\) — точки её касания со сторонами \(AB\), \(BC\), \(CA\), причём \(AN = 3\) см, \(BN = 10\) см (если наоборот, достаточно поменять местами буквы \(A\) и \(B\)). Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому \(AE = AN = 3\) см, \(BK = BN = 10\) см. Радиусы \(OE\) и \(OK\), проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам \(CA\) и \(CB\), а \(\angle ACB = 90^\circ\), поэтому четырёхугольник \(OECK\) — прямоугольник с равными соседними сторонами \(OE = OK = r\), т. е. квадрат, и \(CE = CK = r\). Тогда \(AC = r + 3\), \(BC = r + 10\), \(AB = 13\) см, и по теореме Пифагора \[\begin{aligned} (r + 3)^2 + (r + 10)^2 &= 13^2; \\ 2r^2 + 26r - 60 &= 0; \qquad | : 2 \\ r^2 + 13r - 30 &= 0. \end{aligned}\]

Дискриминант \(D = 13^2 + 4 \cdot 30 = 289 = 17^2\), корни \(r_1 = \frac{-13 + 17}{2} = 2\) и \(r_2 = \frac{-13 - 17}{2} = -15\). Радиус положителен, поэтому \(r = 2\) см, \(AC = 5\) см, \(BC = 12\) см.

Радиус \(ON\), проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой \(AB\). Отрезок \(ON\) является проекцией наклонной \(MN\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(ON\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(MN \perp AB\). Значит, длина отрезка \(MN\) — расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\), т. е. \(MN = 2\sqrt{5}\) см.

Поскольку \(MO \perp ABC\), то \(\angle MON = 90^\circ\), а длина перпендикуляра \(MO\) — расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\). Из \(\triangle MON\) получаем, что \[MO = \sqrt{MN^2 - ON^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{20 - 4} = 4 \text{ (см)}.\]

Ответ: 4 см.