Страница 143 номер 12.18, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основания равнобокой трапеции равны 16 см и 36 см. Через центр \(O\) окружности, вписанной в эту трапецию, к её плоскости проведён перпендикуляр \(MO\). Точка \(M\) находится на расстоянии 16 см от плоскости трапеции. Найдите расстояние от точки \(M\) до сторон трапеции.
Дано:
\(ABCD\) — равнобокая трапеция
\(AD \parallel BC\)
\(AD = 36\) см
\(BC = 16\) см
\(O\) — центр вписанной окружности
\(MO \perp ABC\)
\(MO = 16\) см
Найти: расстояние от точки \(M\) до сторон трапеции.
Решение: Точка \(M\) не принадлежит плоскости трапеции, а её проекция на эту плоскость — центр \(O\) вписанной окружности. Точка, проекция которой на плоскость многоугольника — центр вписанной в него окружности, равноудалена от сторон многоугольника, поэтому расстояния от \(M\) до всех сторон трапеции равны.
В трапецию вписана окружность, поэтому суммы её противолежащих сторон равны: \(AB + CD = AD + BC = 36 + 16 = 52\) (см), а так как трапеция равнобокая, то \(AB = CD = 26\) см. Проведём высоту \(BH\); в равнобокой трапеции \(AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{36 - 16}{2} = 10\) (см). Из \(\triangle ABH\) (\(\angle AHB = 90^\circ\)) получаем, что \(BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = 24\) (см).
Вписанная окружность касается параллельных прямых \(AD\) и \(BC\), поэтому её диаметр равен расстоянию между ними, т. е. высоте трапеции, и радиус окружности равен \(\frac{BH}{2} = 12\) см. Пусть \(N\) — точка касания окружности со стороной \(BC\); радиус \(ON\), проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой \(BC\), и \(ON = 12\) см.
Отрезок \(ON\) является проекцией наклонной \(MN\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(ON\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(MN \perp BC\). Значит, длина отрезка \(MN\) — расстояние от точки \(M\) до прямой \(BC\), а так как точка \(N\) лежит на стороне \(BC\), то и до стороны \(BC\).
Поскольку \(MO \perp ABC\), то \(\angle MON = 90^\circ\). Из \(\triangle MON\) получаем, что \[MN = \sqrt{MO^2 + ON^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{400} = 20 \text{ (см)}.\]
Ответ: 20 см.
Основания равнобокой трапеции равны 16 см и 36 см. Через центр \(O\) окружности, вписанной в эту трапецию, к её плоскости проведён перпендикуляр \(MO\). Точка \(M\) находится на расстоянии 16 см от плоскости трапеции. Найдите расстояние от точки \(M\) до сторон трапеции.
Дано:
\(ABCD\) — равнобокая трапеция
\(AD \parallel BC\)
\(AD = 36\) см
\(BC = 16\) см
\(O\) — центр вписанной окружности
\(MO \perp ABC\)
\(MO = 16\) см
Найти: расстояние от точки \(M\) до сторон трапеции.
Решение: Точка \(M\) не принадлежит плоскости трапеции, а её проекция на эту плоскость — центр \(O\) вписанной окружности. Точка, проекция которой на плоскость многоугольника — центр вписанной в него окружности, равноудалена от сторон многоугольника, поэтому расстояния от \(M\) до всех сторон трапеции равны. Найдём расстояние до стороны \(BC\).
В трапецию вписана окружность, поэтому суммы её противолежащих сторон равны: \(AB + CD = AD + BC = 36 + 16 = 52\) (см), а так как трапеция равнобокая, то \(AB = CD = 26\) см. Проведём высоту \(BH\); в равнобокой трапеции \(AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{36 - 16}{2} = 10\) (см). Из \(\triangle ABH\) (\(\angle AHB = 90^\circ\)) получаем, что \(BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = 24\) (см).
Вписанная окружность касается параллельных прямых \(AD\) и \(BC\), поэтому её диаметр равен расстоянию между ними, т. е. высоте трапеции, и радиус окружности равен \(\frac{BH}{2} = 12\) см. Пусть \(N\) — точка касания окружности со стороной \(BC\); радиус \(ON\), проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой \(BC\), и \(ON = 12\) см.
Отрезок \(ON\) является проекцией наклонной \(MN\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(ON\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(MN \perp BC\). Значит, длина отрезка \(MN\) — расстояние от точки \(M\) до прямой \(BC\), а так как точка \(N\) лежит на стороне \(BC\), то и до стороны \(BC\).
Поскольку \(MO \perp ABC\), то \(\angle MON = 90^\circ\). Из \(\triangle MON\) получаем, что \[MN = \sqrt{MO^2 + ON^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{400} = 20 \text{ (см)}.\]
Ответ: 20 см.
