Страница 143 номер 12.19, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(O\) — центр окружности, вписанной в трапецию \(ABCD\), \(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\), \(CD = 12\) см, \(\angle ADC = 45^\circ\). Отрезок \(MO\) — перпендикуляр к плоскости трапеции. Точка \(M\) удалена от плоскости трапеции на \(6\sqrt{2}\) см. Найдите расстояние от точки \(M\) до сторон трапеции.
Дано:
\(ABCD\) — трапеция
\(BC \parallel AD\)
\(AB \perp AD\)
\(CD = 12\) см
\(\angle ADC = 45^\circ\)
\(O\) — центр вписанной окружности
\(MO \perp ABC\)
\(MO = 6\sqrt{2}\) см
Найти: расстояние от точки \(M\) до сторон трапеции.
Решение: Точка \(M\) не принадлежит плоскости трапеции, а её проекция на эту плоскость — центр \(O\) вписанной окружности. Точка, проекция которой на плоскость многоугольника — центр вписанной в него окружности, равноудалена от сторон многоугольника, поэтому расстояния от \(M\) до всех сторон трапеции равны.
Проведём высоту \(CH\) трапеции. Из \(\triangle CHD\) (\(\angle CHD = 90^\circ\), \(\angle HDC = 45^\circ\)) получаем, что \(CH = CD \sin 45^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\) (см). Вписанная окружность касается параллельных прямых \(AD\) и \(BC\), поэтому её диаметр равен расстоянию между ними, т. е. высоте трапеции, и радиус окружности равен \(\frac{CH}{2} = 3\sqrt{2}\) см. Пусть \(N\) — точка касания окружности со стороной \(BC\); радиус \(ON\), проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой \(BC\), и \(ON = 3\sqrt{2}\) см.
Отрезок \(ON\) является проекцией наклонной \(MN\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(ON\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(MN \perp BC\). Значит, длина отрезка \(MN\) — расстояние от точки \(M\) до прямой \(BC\), а так как точка \(N\) лежит на стороне \(BC\), то и до стороны \(BC\).
Поскольку \(MO \perp ABC\), то \(\angle MON = 90^\circ\). Из \(\triangle MON\) получаем, что \[MN = \sqrt{MO^2 + ON^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 18} = 3\sqrt{10} \text{ (см)}.\]
Ответ: \(3\sqrt{10}\) см.
Точка \(O\) — центр окружности, вписанной в трапецию \(ABCD\), \(BC \parallel AD\), \(AB \perp AD\), \(CD = 12\) см, \(\angle ADC = 45^\circ\). Отрезок \(MO\) — перпендикуляр к плоскости трапеции. Точка \(M\) удалена от плоскости трапеции на \(6\sqrt{2}\) см. Найдите расстояние от точки \(M\) до сторон трапеции.
Дано:
\(ABCD\) — трапеция
\(BC \parallel AD\)
\(AB \perp AD\)
\(CD = 12\) см
\(\angle ADC = 45^\circ\)
\(O\) — центр вписанной окружности
\(MO \perp ABC\)
\(MO = 6\sqrt{2}\) см
Найти: расстояние от точки \(M\) до сторон трапеции.
Решение: Точка \(M\) не принадлежит плоскости трапеции, а её проекция на эту плоскость — центр \(O\) вписанной окружности. Точка, проекция которой на плоскость многоугольника — центр вписанной в него окружности, равноудалена от сторон многоугольника, поэтому расстояния от \(M\) до всех сторон трапеции равны. Найдём расстояние до стороны \(BC\).
Проведём высоту \(CH\) трапеции. Из \(\triangle CHD\) (\(\angle CHD = 90^\circ\), \(\angle HDC = 45^\circ\)) получаем, что \(CH = CD \sin 45^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\) (см). Вписанная окружность касается параллельных прямых \(AD\) и \(BC\), поэтому её диаметр равен расстоянию между ними, т. е. высоте трапеции, и радиус окружности равен \(\frac{CH}{2} = 3\sqrt{2}\) см. Пусть \(N\) — точка касания окружности со стороной \(BC\); радиус \(ON\), проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой \(BC\), и \(ON = 3\sqrt{2}\) см.
Отрезок \(ON\) является проекцией наклонной \(MN\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(ON\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(MN \perp BC\). Значит, длина отрезка \(MN\) — расстояние от точки \(M\) до прямой \(BC\), а так как точка \(N\) лежит на стороне \(BC\), то и до стороны \(BC\).
Поскольку \(MO \perp ABC\), то \(\angle MON = 90^\circ\). Из \(\triangle MON\) получаем, что \[MN = \sqrt{MO^2 + ON^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 18} = 3\sqrt{10} \text{ (см)}.\]
Ответ: \(3\sqrt{10}\) см.
