Страница 143 номер 12.20, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Параллельные прямые \(a\), \(b\) и \(c\) не лежат в одной плоскости. Расстояние между прямыми \(a\) и \(b\) равно 25 см, а между прямыми \(b\) и \(c\) — 17 см. Расстояние между прямой \(b\) и плоскостью, в которой лежат прямые \(a\) и \(c\), равно 15 см. Найдите расстояние между прямыми \(a\) и \(c\).
Дано:
\(a \parallel b\), \(b \parallel c\)
\(a\), \(b\), \(c\) не лежат в одной плоскости
\(\alpha\) — плоскость, в которой лежат \(a\) и \(c\)
расстояние между прямыми \(a\) и \(b\) равно 25 см
расстояние между прямыми \(b\) и \(c\) равно 17 см
расстояние между прямой \(b\) и плоскостью \(\alpha\) равно 15 см
Найти: расстояние между прямыми \(a\) и \(c\).
Решение: Прямые \(a\) и \(c\) параллельны прямой \(b\), поэтому они параллельны друг другу. Прямая \(b\) не лежит в плоскости \(\alpha\) (прямые \(a\), \(b\), \(c\) не лежат в одной плоскости) и параллельна прямой \(a\) этой плоскости, поэтому \(b \parallel \alpha\), и каждая точка прямой \(b\) удалена от плоскости \(\alpha\) на 15 см.
Отметим на прямой \(b\) точку \(B\) и опустим из неё перпендикуляр \(BO\) на плоскость \(\alpha\); \(BO = 15\) см. Проведём в плоскости \(\alpha\) через точку \(O\) прямую, перпендикулярную прямой \(a\); она перпендикулярна и параллельной ей прямой \(c\) и пересекает прямые \(a\) и \(c\) в точках \(A\) и \(C\). Точка \(O\) не лежит на прямых \(a\) и \(c\): иначе расстояние от точки \(B\) до этой прямой было бы равно \(BO = 15\) см, а не 25 см или 17 см.
Отрезок \(OA\) является проекцией наклонной \(BA\) на плоскость \(\alpha\). Прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\) и перпендикулярна проекции \(OA\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(a \perp BA\). Значит, длина отрезка \(BA\) — расстояние от точки \(B\) до прямой \(a\), т. е. расстояние между прямыми \(a\) и \(b\): \(BA = 25\) см. Аналогично \(c \perp BC\) и \(BC = 17\) см.
Поскольку \(BO \perp \alpha\), то треугольники \(BOA\) и \(BOC\) прямоугольные, и \[\begin{aligned} OA &= \sqrt{BA^2 - BO^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20 \text{ (см)}; \\ OC &= \sqrt{BC^2 - BO^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8 \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Прямая \(AC\) перпендикулярна параллельным прямым \(a\) и \(c\), поэтому расстояние между ними равно \(AC\). Точки \(A\), \(O\), \(C\) лежат на одной прямой, и возможны два случая.
Если точка \(O\) лежит между точками \(A\) и \(C\), т. е. прямые \(a\) и \(c\) лежат по разные стороны от проекции прямой \(b\) на плоскость \(\alpha\), то \(AC = OA + OC = 20 + 8 = 28\) (см).
Если точки \(A\) и \(C\) лежат по одну сторону от точки \(O\), т. е. прямые \(a\) и \(c\) лежат по одну сторону от проекции прямой \(b\), то \(AC = OA - OC = 20 - 8 = 12\) (см).
Ответ: 28 см, если прямые \(a\) и \(c\) лежат по разные стороны от проекции прямой \(b\) на плоскость \(\alpha\), или 12 см, если они лежат по одну сторону от неё.
Параллельные прямые \(a\), \(b\) и \(c\) не лежат в одной плоскости. Расстояние между прямыми \(a\) и \(b\) равно 25 см, а между прямыми \(b\) и \(c\) — 17 см. Расстояние между прямой \(b\) и плоскостью, в которой лежат прямые \(a\) и \(c\), равно 15 см. Найдите расстояние между прямыми \(a\) и \(c\).
Дано:
\(a \parallel b\), \(b \parallel c\)
\(a\), \(b\), \(c\) не лежат в одной плоскости
\(\alpha\) — плоскость, в которой лежат \(a\) и \(c\)
расстояние между прямыми \(a\) и \(b\) равно 25 см
расстояние между прямыми \(b\) и \(c\) равно 17 см
расстояние между прямой \(b\) и плоскостью \(\alpha\) равно 15 см
Найти: расстояние между прямыми \(a\) и \(c\).
Решение: Прямые \(a\) и \(c\) параллельны прямой \(b\), поэтому они параллельны друг другу. Прямая \(b\) не лежит в плоскости \(\alpha\) (прямые \(a\), \(b\), \(c\) не лежат в одной плоскости) и параллельна прямой \(a\) этой плоскости, поэтому \(b \parallel \alpha\), и каждая точка прямой \(b\) удалена от плоскости \(\alpha\) на 15 см. Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из них до другой прямой.
Отметим на прямой \(b\) точку \(B\) и опустим из неё перпендикуляр \(BO\) на плоскость \(\alpha\); \(BO = 15\) см. Проведём в плоскости \(\alpha\) через точку \(O\) прямую, перпендикулярную прямой \(a\); она перпендикулярна и параллельной ей прямой \(c\) и пересекает прямые \(a\) и \(c\) в точках \(A\) и \(C\). Точка \(O\) не лежит на прямых \(a\) и \(c\): иначе расстояние от точки \(B\) до этой прямой было бы равно \(BO = 15\) см, а не 25 см или 17 см.
Отрезок \(OA\) является проекцией наклонной \(BA\) на плоскость \(\alpha\). Прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\) и перпендикулярна проекции \(OA\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(a \perp BA\). Значит, длина отрезка \(BA\) — расстояние от точки \(B\) до прямой \(a\), т. е. расстояние между прямыми \(a\) и \(b\): \(BA = 25\) см. Аналогично \(c \perp BC\) и \(BC = 17\) см.
Поскольку \(BO \perp \alpha\), то треугольники \(BOA\) и \(BOC\) прямоугольные, и \[\begin{aligned} OA &= \sqrt{BA^2 - BO^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20 \text{ (см)}; \\ OC &= \sqrt{BC^2 - BO^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8 \text{ (см)}. \end{aligned}\]
Прямая \(AC\) перпендикулярна параллельным прямым \(a\) и \(c\), поэтому расстояние между ними равно \(AC\). Точки \(A\), \(O\), \(C\) лежат на одной прямой, и возможны два случая.
Если точка \(O\) лежит между точками \(A\) и \(C\), т. е. прямые \(a\) и \(c\) лежат по разные стороны от проекции прямой \(b\) на плоскость \(\alpha\), то \(AC = OA + OC = 20 + 8 = 28\) (см).
Если точки \(A\) и \(C\) лежат по одну сторону от точки \(O\), т. е. прямые \(a\) и \(c\) лежат по одну сторону от проекции прямой \(b\), то \(AC = OA - OC = 20 - 8 = 12\) (см).
Ответ: 28 см, если прямые \(a\) и \(c\) лежат по разные стороны от проекции прямой \(b\) на плоскость \(\alpha\), или 12 см, если они лежат по одну сторону от неё.
