Страница 132 номер 11.2, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рисунке 11.17 изображён прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Укажите проекцию отрезка \(DB_1\) на плоскость: 1) \(A_1B_1C_1\); 2) \(CDD_1\); 3) \(AA_1D_1\).
Проекцией отрезка \(DB_1\) на плоскость является отрезок, соединяющий проекции точек \(D\) и \(B_1\), если эти проекции различны: отрезок, параллельный направлению проектирования, проектируется в точку, а параллельной проекцией любого другого отрезка является отрезок. Точка, лежащая в плоскости, является своей проекцией.
1) Ребро \(DD_1\) перпендикулярно рёбрам \(D_1A_1\) и \(D_1C_1\) (грани \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\) — прямоугольники), а \(D_1A_1\) и \(D_1C_1\) — пересекающиеся прямые плоскости \(A_1B_1C_1\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(DD_1 \perp A_1B_1C_1\), поэтому проекция точки \(D\) на плоскость \(A_1B_1C_1\) — точка \(D_1\). Точка \(B_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\). Следовательно, проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(A_1B_1C_1\) — отрезок \(D_1B_1\).
2) Ребро \(B_1C_1\) перпендикулярно рёбрам \(C_1D_1\) и \(C_1C\) (грани \(A_1B_1C_1D_1\) и \(BB_1C_1C\) — прямоугольники), а \(C_1D_1\) и \(C_1C\) — пересекающиеся прямые плоскости \(CDD_1\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(B_1C_1 \perp CDD_1\), поэтому проекция точки \(B_1\) на плоскость \(CDD_1\) — точка \(C_1\). Точка \(D\) лежит в плоскости \(CDD_1\). Следовательно, проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(CDD_1\) — отрезок \(DC_1\).
3) Ребро \(B_1A_1\) перпендикулярно рёбрам \(A_1D_1\) и \(A_1A\) (грани \(A_1B_1C_1D_1\) и \(AA_1B_1B\) — прямоугольники), а \(A_1D_1\) и \(A_1A\) — пересекающиеся прямые плоскости \(AA_1D_1\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(B_1A_1 \perp AA_1D_1\), поэтому проекция точки \(B_1\) на плоскость \(AA_1D_1\) — точка \(A_1\). Точка \(D\) лежит в плоскости \(AA_1D_1\). Следовательно, проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(AA_1D_1\) — отрезок \(DA_1\).
Ответ: проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(A_1B_1C_1\) — отрезок \(D_1B_1\), на плоскость \(CDD_1\) — отрезок \(DC_1\), на плоскость \(AA_1D_1\) — отрезок \(DA_1\).
На рисунке 11.17 изображён прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Укажите проекцию отрезка \(DB_1\) на плоскость: 1) \(A_1B_1C_1\); 2) \(CDD_1\); 3) \(AA_1D_1\).
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. Проекцией отрезка \(DB_1\) на плоскость является отрезок, соединяющий проекции точек \(D\) и \(B_1\), если эти проекции различны: отрезок, параллельный направлению проектирования, проектируется в точку, а параллельной проекцией любого другого отрезка является отрезок. Точка, лежащая в плоскости, является своей проекцией.
1) Ребро \(DD_1\) перпендикулярно рёбрам \(D_1A_1\) и \(D_1C_1\) (грани \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\) — прямоугольники), а \(D_1A_1\) и \(D_1C_1\) — пересекающиеся прямые плоскости \(A_1B_1C_1\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(DD_1 \perp A_1B_1C_1\), поэтому проекция точки \(D\) на плоскость \(A_1B_1C_1\) — точка \(D_1\). Точка \(B_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\). Следовательно, проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(A_1B_1C_1\) — отрезок \(D_1B_1\).
2) Ребро \(B_1C_1\) перпендикулярно рёбрам \(C_1D_1\) и \(C_1C\) (грани \(A_1B_1C_1D_1\) и \(BB_1C_1C\) — прямоугольники), а \(C_1D_1\) и \(C_1C\) — пересекающиеся прямые плоскости \(CDD_1\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(B_1C_1 \perp CDD_1\), поэтому проекция точки \(B_1\) на плоскость \(CDD_1\) — точка \(C_1\). Точка \(D\) лежит в плоскости \(CDD_1\). Следовательно, проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(CDD_1\) — отрезок \(DC_1\).
3) Ребро \(B_1A_1\) перпендикулярно рёбрам \(A_1D_1\) и \(A_1A\) (грани \(A_1B_1C_1D_1\) и \(AA_1B_1B\) — прямоугольники), а \(A_1D_1\) и \(A_1A\) — пересекающиеся прямые плоскости \(AA_1D_1\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(B_1A_1 \perp AA_1D_1\), поэтому проекция точки \(B_1\) на плоскость \(AA_1D_1\) — точка \(A_1\). Точка \(D\) лежит в плоскости \(AA_1D_1\). Следовательно, проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(AA_1D_1\) — отрезок \(DA_1\).
Ответ: проекция отрезка \(DB_1\) на плоскость \(A_1B_1C_1\) — отрезок \(D_1B_1\), на плоскость \(CDD_1\) — отрезок \(DC_1\), на плоскость \(AA_1D_1\) — отрезок \(DA_1\).
