Страница 133 номер 11.9, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что если точка принадлежит прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр окружности, описанной около многоугольника, то эта точка равноудалена от вершин многоугольника.
Пусть \(O\) — центр окружности, описанной около многоугольника, прямая \(a\) проходит через точку \(O\) перпендикулярно плоскости многоугольника, \(M\) — точка прямой \(a\). Проведём доказательство для треугольника \(ABC\); для многоугольника с любым числом вершин оно такое же — те же равенства записываются для каждой вершины.
Если точка \(M\) совпадает с точкой \(O\), то \(MA = MB = MC\) как радиусы описанной окружности.
Пусть точка \(M\) отлична от точки \(O\). Отрезок \(MO\) лежит на прямой \(a\), перпендикулярной плоскости \(ABC\), поэтому \(\angle MOA = \angle MOB = \angle MOC = 90^\circ\). В прямоугольных треугольниках \(MOA\), \(MOB\), \(MOC\) катет \(MO\) — общий, а катеты \(OA\), \(OB\), \(OC\) равны как радиусы описанной окружности. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, откуда \(MA = MB = MC\).
Ответ: точка прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр его описанной окружности, равноудалена от вершин многоугольника.
Докажите, что если точка принадлежит прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр окружности, описанной около многоугольника, то эта точка равноудалена от вершин многоугольника.
Пусть \(O\) — центр окружности, описанной около многоугольника, прямая \(a\) проходит через точку \(O\) перпендикулярно плоскости многоугольника, \(M\) — точка прямой \(a\). Проведём доказательство для треугольника \(ABC\); для многоугольника с любым числом вершин оно такое же — те же равенства записываются для каждой вершины. Докажем, что \(MA = MB = MC\).
Если точка \(M\) совпадает с точкой \(O\), то \(MA = MB = MC\) как радиусы описанной окружности.
Пусть точка \(M\) отлична от точки \(O\). Отрезок \(MO\) лежит на прямой \(a\), перпендикулярной плоскости \(ABC\), поэтому \(\angle MOA = \angle MOB = \angle MOC = 90^\circ\). В прямоугольных треугольниках \(MOA\), \(MOB\), \(MOC\) катет \(MO\) — общий, а катеты \(OA\), \(OB\), \(OC\) равны как радиусы описанной окружности. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, откуда \(MA = MB = MC\).
Ответ: точка прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр его описанной окружности, равноудалена от вершин многоугольника.
