Страница 34 номер 40, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Площадь прямоугольного треугольника равна \(90\) см\(^2\). Сумма площадей квадратов, построенных на его катетах, равна \(369\) см\(^2\). Каковы катеты этого треугольника?
Пусть \(y^{2}\) – площадь большого квадрата, а \(x^{2}\) – площадь маленького квадрата. Тогда:
\(y^{2} + x^{2} = 369\)
\(S = \frac{yx}{2}\) – площадь прямоугольного треугольника \(\frac{yx}{2} = 90\)
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 369 \\ \frac{yx}{2} = 90 \end{cases}\)
Умножим второе уравнение на 4:
\(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 369 \\ 2xy = 360 \end{cases}\)
Вычтем из первого уравнения системы второе уравнение:
\(y^{2} - 2xy + x^{2} = 9\)
В левой части равенства мы получили формулу квадрата разности:
\((y - x)^{2} = 9\)
\(y - x = \pm 3\)
\(y - x = 3\) \(y - x = -3\) –не подходит по условию задачи
\(y = 3 + x\)
Подставим полученное значение во второе уравнение системы вместо \(y\):
\(\dfrac{(3 + x) \cdot x}{2} = 90\)
\(x^{2} + 3x = 180\)
\(x^{2} + 3x - 180 = 0\)
Решим данное уравнение по теореме Виета:
\(\begin{cases} x_{1}x_{2} = -180 \\ x_{1} + x_{2} = -3 \end{cases} \begin{cases} x_{1} = -15 \text{ - не подходит по условию} \\ x_{2} = 12 \end{cases}\)
\(x = 12\) см – длина меньшего катета
\(y = 3 + 12 = 15\) см – длина большего катета
Ответ: длина меньшего катета – 12 см, большего – 15см.
