Страница 26 номер 29, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 2x^{2} - xy - 3y^{2} = 3 \end{cases}\)

Решим эту систему методом подстановки, выразив \(y\) через \(x\) из первого уравнения системы:

\(3y = 2x - 1\)
\(y = \dfrac{2x - 1}{3}\)
\(2x^{2} - x \cdot \dfrac{(2x - 1)}{3} - 3 \cdot (\dfrac{2x - 1}{3})^{2} = 3\)
\(2x^{2} - \dfrac{2}{3}x^{2} + \dfrac{1}{3}x - 3\left(\dfrac{4x^{2} - 4x + 1}{9}\right) = 3\)
\(\dfrac{4}{3}x^{2} + \dfrac{1}{3}x - \dfrac{4}{3}x^{2} + \dfrac{4}{3}x - \dfrac{1}{3} - 3 = 0\)
\(\dfrac{5}{3}x = \dfrac{10}{3}\)
\(5x = 10\)
\(x = 2,\ y = \dfrac{2 \cdot 2 - 1}{3} = 1\)

Ответ: \(x = 2\), \(y = 1\).

2) \(\begin{cases} x^{3} + y^{3} = 133 \\ x + y = 7 \end{cases}\)

Разложим на множители левую часть верхнего уравнения по формуле суммы кубов:

\((x + y)(x^{2} - xy + y^{2}) = 133\)

Учтем, что \(x + y = 7\)

\(7(x^{2} - xy + y^{2}) = 133\)
\(x^{2} - xy + y^{2} = 133/7 = 19\)

Перепишем систему уравнений:

\(\begin{cases} x^{2} - xy + y^{2} = 19 \\ x + y = 7 \end{cases}\)

Сделаем подстановку:

\(y = 7 - x\)
\(x^{2} - x(7 - x) + (7 - x)^{2} = 19\)
\(x^{2} - 7x + x^{2} + 49 - 14x + x^{2} - 19 = 0\)
\(3x^{2} - 21x + 30 = 0 \mid :3\)
\(x^{2} - 7x + 10 = 0\)

Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой Виета:

\(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = 10 \\ x_{1} + x_{2} = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = 5 \\ x_{2} = 2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y_{1} = 7 - 5 = 2 \\ y_{2} = 7 - 2 = 5 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 5\), \(y_{1} = 2\), \(x_{2} = 2\), \(y_{2} = 5\).

3) \(\begin{cases} xy - x + y = 7 \\ xy + x - y = 13 \end{cases}\)

Сложим почленно уравнения системы:

\(2xy = 20\)
\(xy = 10\)
\(\begin{cases} 10 - x + y = 7 \\ 10 + x - y = 13 \end{cases} \begin{cases} -x + y = -3 \\ x - y = 3 \end{cases}\)
\(y = \dfrac{10}{x}\)

Подставим полученное для \(y\) значение в первое уравнение:

\(x \cdot \dfrac{10}{x} - x + \dfrac{10}{x} - 7 = 0\)
\(10 - x + \dfrac{10}{x} - 7 = 0\)
\(\dfrac{10}{x} - x + 3 = 0 \mid \cdot x\)
\(10 - x^{2} + 3x = 0 \mid \cdot (-1)\)
\(x^{2} - 3x - 10 = 0\)

Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой Виета:

\(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = -10 \\ x_{1} + x_{2} = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = 5 \\ x_{2} = -2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y_{1} = \frac{10}{5} = 2 \\ y_{2} = \frac{10}{-2} = -5 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 5\), \(y_{1} = 2\), \(x_{2} = -2\), \(y_{2} = -5\).

4) \(\begin{cases} xy - 2(x + y) = 2 \\ xy + (x + y) = 29 \end{cases}\)

Вычтем из второго уравнения первое:

\(3(x + y) = 27\)
\(x + y = 9\)
\(y = 9 - x\)

Выполним подстановку:

\(x(9 - x) - 2(x + 9 - x) - 2 = 0\)
\(9x - x^{2} - 18 - 2 = 0 \mid \cdot (-1)\)
\(x^{2} - 9x + 20 = 0\)

Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой Виета:

\(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = 20 \\ x_{1} + x_{2} = 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = 5 \\ x_{2} = 4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y_{1} = 9 - 5 = 4 \\ y_{2} = 9 - 4 = 5 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 5\), \(y_{1} = 4\), \(x_{2} = 4\), \(y_{2} = 5\).