Страница 21 номер 19, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

Глава 1. Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений. §3. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Страница 21. Номер 19

Задание / условие:

Решить возвратное уравнение: 1) \(6x^4 - 35x^3 + 62x^2 - 35x + 6 = 0\); 2) \(x^4 + 2x^3 - 22x^2 + 2x + 1 = 0\).

Решение:

1) \(6x^{4} - 35x^{3} + 62x^{2} - 35x + 6 = 0\)

Так как \(x = 0\) не является корнем уравнения (при \(x = 0\) левая часть равна \(6\)), разделим наше уравнение на \(x^{2}\):

\(6x^{2} - 35x + 62 - 35 \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{x^{2}} = 0\)
\(6x^{2} + \dfrac{6}{x^{2}} - 35x - 35 \cdot \dfrac{1}{x} + 62 = 0\)
\(6(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}) - 35(x + \dfrac{1}{x}) + 62 = 0\)

Обозначим \((x + \frac{1}{x}) = t\)

\(t^{2} = (x + \dfrac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}} = x^{2} + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\)
\(x^{2} + 2 + \dfrac{1}{x^{2}} = t^{2}\)
\(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2\)

Подставим результат в наше уравнение:

\(6(t^{2} - 2) - 35t + 62 = 0\)
\(6t^{2} - 12 - 35t + 62 = 0\)
\(6t^{2} - 35t + 50 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 1225 - 4 \cdot 6 \cdot 50 = 25, \sqrt{D} = 5\)
\(t_{1{,}2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{35 \pm 5}{12}\)
\(t_{1} = \dfrac{15}{6}; t_{2} = \dfrac{10}{3}\)
\(x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{15}{6} | \cdot 6x\)
\(6x^{2} + 6 - 15x = 0\)
\(6x^{2} - 15x + 6 = 0\)
\(D = 225 - 24 \cdot 6 = 81, \sqrt{D} = 9\)
\(x_{1} = \dfrac{15 - 9}{12} = \dfrac{1}{2}\)
\(x_{2} = \dfrac{15 + 9}{12} = 2\)
\(x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{10}{3} | \cdot 3x\)
\(3x^{2} + 3 - 10x = 0\)
\(3x^{2} - 10x + 3 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 100 - 4 \cdot 9 = 64, \sqrt{D} = 8\)
\(x_{3} = \dfrac{10 - 8}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)
\(x_{4} = \dfrac{10 + 8}{6} = \dfrac{18}{6} = 3\)

Ответ: \(x_{1} = \frac{1}{2}\), \(x_{2} = 2\), \(x_{3} = \frac{1}{3}\), \(x_{4} = 3\).

2) \(x^{4} + 2x^{3} - 22x^{2} + 2x + 1 = 0\)

Так как \(x = 0\) не является корнем уравнения (при \(x = 0\) левая часть равна \(1\)), разделим наше уравнение на \(x^{2}\):

\(x^{2} + 2x - 22 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^{2}} = 0\)
\(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} + 2x + \dfrac{2}{x} - 22 = 0\)
\((x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}) + 2(x + \dfrac{1}{x}) - 22 = 0\)

Обозначим \((x + \frac{1}{x}) = t\)

\(t^{2} = (x + \dfrac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\)
\(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2\)

Подставим результат в наше уравнение:

\(t^{2} - 2 + 2t - 22 = 0\)
\(t^{2} + 2t - 24 = 0\)

Найдем корни данного уравнения, используя теорему Виета:

\(\begin{cases} t_{1} = -6 \\ t_{2} = 4 \end{cases} \begin{cases} t_{1} \cdot t_{2} = -24 \\ t_{1} + t_{2} = -2 \end{cases}\)
\(x + \dfrac{1}{x} = -6 | \cdot x\)
\(x^{2} + 6x + 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 36 - 4 = 32, \sqrt{D} = 4\sqrt{2}\)
\(x_{1} = \dfrac{-6 + 4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} - 3\)
\(x_{2} = \dfrac{-6 - 4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2} - 3\)
\(x + \dfrac{1}{x} = 4 | \cdot x\)
\(1 + x^{2} - 4x = 0\)
\(x^{2} - 4x + 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 16 - 4 = 12, \sqrt{D} = 2\sqrt{3}\)
\(x_{3} = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}\)
\(x_{4} = \dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}\)