Страница 36 номер 46, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(6x^{3} - 5x^{2} - 17x + 6 = 0\)
\(P_{3}(x) = 6x^{3} - 5x^{2} - 17x + 6\)

Выпишем все делители числа 6: \(1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6\)

Делаем проверку:

\(P_{3}(1) = 6 - 5 - 17 + 6 \neq 0\)
\(P_{3}(-1) = -6 - 5 + 17 + 6 \neq 0\)
\(P_{3}(2) = 48 - 20 - 34 + 6 = 0\)
\(x_{1} = 2\) – это корень уравнения

Выполним деление уголком многочлена \(P_{3}(x)\) на двучлен \((x - 2)\):

\(6x^{2} + 7x - 3 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 49 + 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121\)
\(\sqrt{D} = 11\)
\(x_{2{,}3} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_{2} = \dfrac{-7 + 11}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)
\(x_{3} = \dfrac{-7 - 11}{12} = -\dfrac{3}{2}\)

Ответ: \(x_{1} = 2\), \(x_{2} = \frac{1}{3}\), \(x_{3} = -\frac{3}{2}\).

2) \(x^{3} - 3x^{2} - 6x + 8 = 0\)
\(P_{3}(x) = x^{3} - 3x^{2} - 6x + 8\)

Выпишем все делители числа 8: \(1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8\)

\(P_{3}(1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0\)
\(x_{1} = 1\) – это корень уравнения

Выполним деление уголком многочлена \(P_{3}(x)\) на двучлен \((x - 1)\):

Для дальнейшего решения воспользуемся теоремой Виета:

\(x^{2} - 2x - 8 = 0\)
\(\begin{cases} x_{2} \cdot x_{3} = -8 \\ x_{2} + x_{3} = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_{2} = 4 \\ x_{3} = -2 \end{cases}\)

Ответ: \(x_{1} = 1\), \(x_{2} = 4\), \(x_{3} = -2\).

3) \(2x^{4} + 3x^{3} - 10x^{2} - 5x - 6 = 0\)
\(P_{4}(x) = 2x^{4} + 3x^{3} - 10x^{2} - 5x - 6\)

Выпишем все делители числа \(-6\): \(1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6\)

Делаем проверку:

\(P_{4}(1) = 2 + 3 - 10 - 5 - 6 \neq 0\)
\(P_{4}(2) = 32 + 24 - 40 - 10 - 6 = 0\)
\(x_{1} = 2\) - это корень уравнения

Выполним деление уголком многочлена \(P_{4}(x)\) на двучлен \((x - 2)\):

\(M_{3}(x) = 2x^{3} + 7x^{2} + 4x + 3 = 0\)

Найдем целый корень многочлена \(M_{3}(x)\)

Делителями числа 3 являются числа: \(1, -1, 3, -3\)

\(M_{3}(1) = 2 + 7 + 4 + 3 \neq 0\)
\(M_{3}(-1) = -2 + 7 - 4 + 3 \neq 0\)
\(M_{3}(3) = 54 + 63 + 12 + 3 \neq 0\)
\(M_{3}(-3) = -54 + 63 - 12 + 3 = 0\)
\(x_{2} = -3\) - это корень уравнения

Выполним деление уголком многочлена \(M_{3}(x)\) на двучлен \((x + 3)\):

\(2x^{2} + x + 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 1 - 4 \cdot 2 = -7 < 0\) – данное уравнение не имеет действительных корней

Ответ: \(x_{1} = 2\), \(x_{2} = -3\).

4) \(3x^{4} + 3x^{3} - 8x^{2} - 2x + 4 = 0\)
\(M_{4}(x) = 3x^{4} + 3x^{3} - 8x^{2} - 2x + 4\)

Выпишем все делители числа 4: \(1, -1, 2, -2, 4, -4\)

Делаем проверку:

\(M_{4}(1) = 3 + 3 - 8 - 2 + 4 = 0\)
\(x_{1} = 1\) - это корень уравнения

Выполним деление уголком \(M_{4}(x)\) на \((x - 1)\):

\(M_{3}(x) = 3x^{3} + 6x^{2} - 2x - 4 = 0\)

Решим данное уравнение, применив способ группировки:

\(3x^{3} + 6x^{2} - 2x - 4 = 0\)
\(3x^{2}(x + 2) - 2(x + 2) = 0\)
\((x + 2)(3x^{2} - 2) = 0\)
\(x + 2 = 0\) или \(3x^{2} - 2 = 0\)
\(x_{2} = -2 \quad 3x^{2} = 2\)
\(x^{2} = 2/3\)
\(x_{3{,}4} = \pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)

Ответ: \(x_{1} = 1\), \(x_{2} = -2\), \(x_{3{,}4} = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}\).