Страница 36 номер 47, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(\frac{4x^{2}}{x - 2} - \frac{4x}{x + 3} = \frac{9x + 2}{x^{2} + x - 6}\)

Разложим \(x^{2} + x - 6\) на множители:

\(x^{2} + x - 6 = 0\)

Найдем корни уравнения используя теорему Виета: \(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = -6 \\ x_{1} + x_{2} = -1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x_{1} = -3 \\ x_{2} = 2 \end{cases}\)
\(x^{2} + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\)

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

\(\dfrac{4x^{2}(x + 3) - 4x(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{9x + 2}{(x - 2)(x + 3)}\)

Домножим наше уравнение на знаменатель дроби:

\(4x^{3} + 12x^{2} - 4x^{2} + 8x = 9x + 2\)
\(4x^{3} + 8x^{2} - x - 2 = 0\)
\(4x^{2}(x + 2) - (x + 2) = 0\)
\((x + 2)(4x^{2} - 1) = 0\)
\(x + 2 = 0\) или \(4x^{2} - 1 = 0\)
\(x_{1} = -2 \quad 4x^{2} = 1\)
\(x^{2} = \dfrac{1}{4}\)
\(x_{2{,}3} = \pm\dfrac{1}{2}\)
\(x_{1} = -2\) и \(x_{2{,}3} = \pm\frac{1}{2}\) – подходят по области допустимых значений (\(x \neq -3\), \(x \neq 2\))

Ответ: \(x_{1} = -2\), \(x_{2{,}3} = \pm\frac{1}{2}\).

2) \(\frac{x^{2}}{x + 3} + \frac{x}{x - 2} = \frac{11x - 12}{x^{2} + x - 6}\)

Разложим знаменатель правой части равенства на множители

\(x^{2} + x - 6 = 0\)
\(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = -6 \\ x_{1} + x_{2} = -1 \end{cases} \begin{cases} x_{1} = 2 \\ x_{2} = -3 \end{cases} \Rightarrow x^{2} + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\)

Приведем равенство к общему знаменателю:

\(\dfrac{x^{2}(x - 2) + x(x + 3)}{(x + 3)(x - 2)} = \dfrac{11x - 12}{(x + 3)(x - 2)}\)

Избавимся от дробей , умножив наше уравнение на общий знаменатель

\(x^{3} - 2x^{2} + x^{2} + 3x = 11x - 12\)
\(x^{3} - x^{2} - 8x + 12 = 0\)

Область допустимых значений уравнения

\(\begin{cases} x \neq -3 \\ x \neq 2 \end{cases}\)
\(P_{3}(x) = x^{3} - x^{2} - 8x + 12\)

Найдем корни уравнения среди делителей числа 12 \((-1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12, 12)\)

\(P_{3}(1) = 1 - 1 - 8 + 12 \neq 0\)
\(P_{3}(2) = 8 - 4 - 16 + 12 = 0\)
\(x = 2\) – корень данного уравнения

Разделим уголком \(P_{3}(x)\) на \((x - 2)\)

\(x^{2} + x - 6 = 0\)

Воспользовавшись теоремой Виета найдем корни данного уравнения:

\(\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = -6 \\ x_{1} + x_{2} = -1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x_{1} = -3 \\ x_{2} = 2 \end{cases}\)
\(x_{1} = -3\) и \(x_{2} = 2\) – не подходят по области допустимых значений и являются посторонними корнями

Ответ: корней нет.