Страница 37 номер 56, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

Пусть \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\) – корни данного уравнения. Тогда, по условию задачи, \(x_{1} \neq x_{2} \neq x_{3} \neq x_{4}\)

Так как левая часть уравнения представляет собой дробь, то:

\(2x^{2} - 3x - 2 \neq 0\)

Решим уравнение

\(2x^{2} - 3x - 2 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 9 + 16 = 25\)
\(\sqrt{D} = 5\)
\(x_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{3 + 5}{4} = 2\)
\(x_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{3 - 5}{4} = -\dfrac{1}{2}\)

Получается, что \(x \neq 2\) и \(x \neq -\frac{1}{2}\) – то есть, корни данного уравнения не могут принимать значения равные 2 и \(-\frac{1}{2}\)

\(x^{4} - 10a^{2}x^{2} + 9a^{4} = 0\)

Введем новую переменную

\(x^{2} = t \Rightarrow t^{2} - 10a^{2}t + 9a^{4} = 0\) – приведенное квадратное уравнение

Исходное биквадратное уравнение будет иметь 4 корня только в том случае, если приведенное квадратное уравнение будет иметь \(D > 0\) и \(t_{1{,}2} > 0\)

\(D = (-10a^{2})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9a^{4} = 100a^{4} - 36a^{4} = 64a^{4}\)
\(\sqrt{D} = \sqrt{64a^{4}} = 8a^{2}\) \[D > 0 \Rightarrow \begin{array}{c} 64a^{4} > 0 \\ a^{4} > 0 \\ (a > 0, a < 0) \\ a \neq 0 \end{array}\] \(t_{1} = \dfrac{10a^{2} + \sqrt{D}}{2} = \dfrac{10a^{2} + 8a^{2}}{2} = 9a^{2}\)
\(t_{2} = \dfrac{10a^{2} - \sqrt{D}}{2} = \dfrac{10a^{2} - 8a^{2}}{2} = \dfrac{2a^{2}}{2} = a^{2}\)
\(9a^{2} > 0\) – выполняется при любом значении параметра \(a \neq 0\)
\(a^{2} > 0\) – выполняется при любом значении параметра \(a \neq 0\)

a) \(x^{2} = 9a^{2}\)

\(x_{1{,}2} = \pm\sqrt{9a^{2}} = \pm 3a\)
\(x_{1{,}2} \neq 2, x_{1{,}2} \neq -\dfrac{1}{2}\)
\(\begin{cases} 3a \neq 2 \\ a \neq \frac{2}{3} \\ -3a \neq 2 \\ a \neq -\frac{2}{3} \end{cases} \begin{cases} 3a \neq -\frac{1}{2} \\ a \neq -\frac{1}{6} \\ -3a \neq -\frac{1}{2} \\ a \neq \frac{1}{6} \end{cases}\)

b) \(x^{2} = a^{2}\)

\(x_{3{,}4} = \pm a\)
\(\begin{cases} a \neq 2 \\ a \neq -2 \end{cases} \begin{cases} a \neq -\frac{1}{2} \\ a \neq \frac{1}{2} \end{cases}\)

Ответ: \(a \neq 0\), \(a \neq \pm 2\), \(a \neq \pm \frac{1}{2}\), \(a \neq \pm \frac{1}{6}\), \(a \neq \pm \frac{2}{3}\).