Страница 36 номер 53, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Сумма двух взаимно обратных дробей равна \(2\frac{1}{6}\), а их разность равна \(\frac{5}{6}\). Найти эти дроби.
Обозначим наши дроби через \(\frac{x}{y}\) и \(\frac{y}{x}\), где \(x \neq 0\) и \(y \neq 0\)
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{6} = \frac{13}{6} \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6} \end{cases}\)
Решим систему уравнений, используя подстановку:
\(\dfrac{x}{y} = t, \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{1}{t}\)
\(\begin{cases} t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6} \\ t - \frac{1}{t} = \frac{5}{6} \end{cases}\)
\(\begin{cases} t = \frac{13}{6} - \frac{1}{t} \\ t = \frac{5}{6} + \frac{1}{t} \end{cases}\)
Приравняем друг к другу правые части равенств:
\(\dfrac{13}{6} - \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{t}\)
\(\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{t} = \dfrac{13}{6} - \dfrac{5}{6}\)
\(\dfrac{2 \cdot 1}{t} = \dfrac{8}{6}\)
\(t = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}; \dfrac{1}{t} = \dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{2}; \dfrac{y}{x} = \dfrac{2}{3}\)
Ответ: Искомые дроби – это \(\frac{3}{2}\) и \(\frac{2}{3}\).
