Страница 17 номер 16, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать теорему Виета для кубического уравнения: если \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) — корни уравнения \(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\), то \(x_1 + x_2 + x_3 = -a,\) \(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = b,\) \(x_1x_2x_3 = -c.\)
Обозначим левую часть уравнения \(P_{3}(x)\)
Если \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) – корни кубического уравнения \(x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0\), то \(P_{3}(x) = (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot (x - x_{3})\), так как \(P_{3}(x)\) делится на \((x - x_{1})\), частное – на \((x - x_{2})\), следующее частное – на \((x - x_{3})\), а коэффициент при \(x^{3}\) равен 1.
\((x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot (x - x_{3}) =\)
\(= (x^{2} - (x_{2} + x_{1}) \cdot x + x_{1} \cdot x_{2}) \cdot (x - x_{3}) = P_{3}(x)\)
\((x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) = x^{2} - x_{2} \cdot x - x_{1} \cdot x + x_{1} \cdot x_{2}\)
\((x^{2} - (x_{2} + x_{1}) \cdot x + x_{1} \cdot x_{2}) \cdot (x - x_{3}) =\)
\(= x^{3} - x_{3} \cdot x^{2} - (x_{2} + x_{1}) \cdot x^{2} + (x_{2} + x_{1}) \cdot x_{3} \cdot x +\)
\(+ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x - x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} =\)
\(= x^{3} - (x_{3} + x_{2} + x_{1}) \cdot x^{2} +\)
\(+ (x_{2} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{2}) \cdot x - x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}\)
\(x^{3} + ax^{2} + bx + c = x^{3} - (x_{3} + x_{2} + x_{1}) \cdot x^{2} +\)
\(+ (x_{1} \cdot x_{2} + x_{2} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{3}) \cdot x - x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}\)
Сравнив левую и правую части равенств имеем:
\(\begin{cases} a = -x_{3} - x_{2} - x_{1} \\ b = x_{1} \cdot x_{2} + x_{2} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{3} \\ c = -x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \end{cases}\)
Ответ: \(\begin{cases} -a = x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ b = x_{1} \cdot x_{2} + x_{2} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{3} \\ -c = x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \end{cases}\).
