Страница 22 номер 21, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

Доказательство

Так как \(x = 0\) не является корнем уравнения (при \(x = 0\) левая часть равна \(a \neq 0\)), разделим каждый член нашего уравнения на \(x^{2}\):

\(ax^{2} + bx + c - \dfrac{b}{x} + \dfrac{a}{x^{2}} = 0\)

Сгруппируем члены уравнения следующим образом:

\(\left(ax^{2} + \dfrac{a}{x^{2}}\right) + \left(bx - \dfrac{b}{x}\right) + c = 0\)
\(a(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}) + b(x - \dfrac{1}{x}) + c = 0\)
\(x - \dfrac{1}{x} = t\)

Возведем в квадрат обе части уравнения:

\((x - \dfrac{1}{x})^{2} = t^{2}\)
\(x^{2} - 2 + \dfrac{1}{x^{2}} = t^{2}\)
\((x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}) = t^{2} + 2\)

Подставим результат в наше исходное уравнение:

\(a(t^{2} + 2) + b \cdot t + c = 0\)
\(at^{2} + 2a + bt + c = 0\)
\(at^{2} + bt + c + 2a = 0\)

Что и требовалось доказать

1) \(x^{4} - 4x^{3} - 2x^{2} + 4x + 1 = 0 | :x^{2}\)
\(x = 0\) не является корнем уравнения (при \(x = 0\) левая часть равна \(1\))
\(x^{2} - 4x - 2 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^{2}} = 0\)
\((x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}) - 4(x - \dfrac{1}{x}) - 2 = 0\)
\(x - \frac{1}{x} = t\), тогда
\(t^{2} = (x - \dfrac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\)
\(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = t^{2} + 2\)

Делаем подстановку:

\(t^{2} + 2 - 4t - 2 = 0\)
\(t^{2} - 4t = 0\)
\(t(t - 4) = 0\)
\(t = 0\) или \(t = 4\)

a) \(x - \frac{1}{x} = 0\)

\(\dfrac{x^{2} - 1}{x} = 0, x \neq 0\)
\(x^{2} - 1 = 0\)
\(x^{2} = 1\)
\(x_{1{,}2} = \pm 1\)

b) \(x - \frac{1}{x} = 4\)

\(\dfrac{x^{2} - 1}{x} = 4\)
\(x^{2} - 1 = 4x\)
\(x^{2} - 4x - 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 16 + 4 = 20\)
\(\sqrt{D} = 2\sqrt{5}\)
\(x_{3} = \dfrac{4 - 2\sqrt{5}}{2} = 2 - \sqrt{5}\)
\(x_{4} = \dfrac{4 + 2\sqrt{5}}{2} = 2 + \sqrt{5}\)

Ответ: \(x_{1{,}2} = \pm 1\), \(x_{3{,}4} = 2 \pm \sqrt{5}\).

2) \(2x^{4} - 15x^{3} + 14x^{2} + 15x + 2 = 0 | :x^{2}\)
\(x = 0\) не является корнем уравнения (при \(x = 0\) левая часть равна \(2\))
\(2x^{2} - 15x + 14 + \dfrac{15}{x} + \dfrac{2}{x^{2}} = 0\)
\((2x^{2} + \dfrac{2}{x^{2}}) - 15(x - \dfrac{1}{x}) + 14 = 0\)
\(2(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}) - 15(x - \dfrac{1}{x}) + 14 = 0\)
\(x - \frac{1}{x} = t\), тогда
\(t^{2} = x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - 2\)
\(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = t^{2} + 2\)

Делаем подстановку:

\(2(t^{2} + 2) - 15t + 14 = 0\)
\(2t^{2} + 4 - 15t + 14 = 0\)
\(2t^{2} - 15t + 18 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 225 - 144 = 81\)
\(\sqrt{D} = 9\)
\(t_{1} = \dfrac{15 + 9}{4} = 6\)
\(t_{2} = \dfrac{15 - 9}{4} = \dfrac{3}{2}\)

a) \(x - \frac{1}{x} = 6\)

\(\dfrac{x^{2} - 1}{x} = 6\)
\(x^{2} - 6x - 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 36 + 4 = 40\)
\(\sqrt{D} = 2\sqrt{10}\)
\(x_{1} = \dfrac{6 + 2\sqrt{10}}{2} = 3 + \sqrt{10}\)
\(x_{2} = \dfrac{6 - 2\sqrt{10}}{2} = 3 - \sqrt{10}\)

b) \(x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2}\)

\(\dfrac{x^{2} - 1}{x} = \dfrac{3}{2}\)
\(x^{2} - 1 = \dfrac{3}{2}x\)
\(x^{2} - 1{,}5x - 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 2{,}25 + 4 = 6{,}25\)
\(\sqrt{D} = 2{,}5\)
\(x_{3} = \dfrac{1{,}5 - 2{,}5}{2} = -\dfrac{1}{2}\)
\(x_{4} = \dfrac{1{,}5 + 2{,}5}{2} = 2\)

Ответ: \(x_{1{,}2} = 3 \pm \sqrt{10}\), \(x_{3} = -\frac{1}{2}\), \(x_{4} = 2\).