Страница 35 номер 44, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Три коневодческие фермы сделали равные запасы овса, необходимого для подкормки лошадей, число которых на этих фермах было разным. Первой ферме этого запаса овса хватает на 105 дней. Второй ферме, имеющей на 10 лошадей больше первой, запаса овса хватит на 100 дней, если дневную норму овса для каждой лошади уменьшить на 1 кг. На столько же дней хватит овса третьей ферме, где лошадей на 10 меньше, чем на первой, но дневная норма овса на 3 кг больше, чем на первой. Сколько лошадей на каждой ферме и какова суточная норма овса на каждой из них?
\(x\) – число лошадей на первой ферме
\(y\) – норма овса на одну лошадь на первой ферме
Известно, что на первой ферме запас овса израсходуется за 105 дней, таким образом:
\(105xy\) – объем запаса овса
На второй ферме запас овса израсходуется за 100 дней. Отсюда:
\((x + 10)(y - 1) \cdot 100\) – объем запаса овса на второй ферме
На третьей ферме запаса овса хватит также на 100 дней, то есть:
\((x - 10) \cdot (y + 3) \cdot 100\) – объем запаса овса на третьей ферме
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} 105xy = 100(x + 10)(y - 1) \\ 105xy = 100(x - 10)(y + 3) \end{cases}\)
\(105xy = 100xy - 100x + 1000y - 1000\)
\(5xy = -100x + 1000y - 1000 |:5\)
\(xy + 20x - 200y + 200 = 0 (1)\)
\(105xy = 100xy + 300x - 1000y - 3000 |:5\)
\(xy - 60x + 200y + 600 = 0 (2)\)
\(-\begin{cases} xy + 20x - 200y + 200 = 0 \\ xy - 60x + 200y + 600 = 0 \end{cases}\)
Вычтем из первого уравнения системы второе:
\(80x - 400y - 400 = 0\)
\(x - 5y - 5 = 0\)
\(x = 5y + 5\)
Подставим полученное значение в первое уравнение:
\((5y + 5) \cdot y + 20 \cdot (5y + 5) - 200y + 200 = 0\)
\(5y^{2} - 95y + 300 = 0\)
\(y^{2} - 19y + 60 = 0\)
Используя теорему Виета для решения данного уравнения, мы получаем два возможных варианта решения задачи.
\(\begin{cases} y_{1} \cdot y_{2} = 60 \\ y_{1} + y_{2} = 19 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y_{1} = 4 \\ y_{2} = 15 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x_{1} = 5 \cdot 4 + 5 = 25 \\ x_{2} = 5 \cdot 15 + 5 = 80 \end{cases}\)
Первый вариант:
На первой ферме расход овса составляет \(y_{1} = 4\) кг при \(x_{1} = 5 \cdot 4 + 5 = 25\) лошадей.
На второй ферме \(x + 10 = 35\) лошадей
\(y - 1 = 3\) кг – расход овса в день
На третьей ферме \(x - 10 = 15\) лошадей
\(y + 3 = 7\) кг. –расход овса в день
Второй вариант:
На первой ферме расход овса составляет \({y_{2} = 15}\) кг при \({x_{2} = 5 \cdot 15 + 5 = 80}\) лошадей.
На второй ферме \(x + 10 = 90\) лошадей
\(y - 1 = 14\) кг – расход овса в день
На третьей ферме \(x - 10 = 70\) лошадей
\(y + 3 = 18\) кг. –расход овса в день
