Страница 31 номер 36, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(\begin{cases} x + y = 2a \\ xy = -3a^{2} \end{cases}\)

Воспользовавшись теоремой, обратной теореме Виета, получим следующее квадратное уравнение:

\(t^{2} - 2at - 3a^{2} = 0\)

Решим его относительно переменной \(t\):

\(D = (-2a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3a^{2})\)
\(D = 4a^{2} - 4(-3a^{2}) = 4a^{2} + 12a^{2} = 16a^{2}\)
\(\sqrt{D} = 4|a|\)
\(t_{1{,}2} = \dfrac{2a \pm \sqrt{D}}{2} = \dfrac{2a \pm 4|a|}{2} = \dfrac{2a \pm 4a}{2}\)
\(t_{1} = \dfrac{2a + 4a}{2} = \dfrac{6a}{2} = 3a\)
\(t_{2} = \dfrac{2a - 4a}{2} = \dfrac{-2a}{2} = -a\)

Ответ: \(\begin{cases} x_{1} = 3a \\ y_{1} = -a \end{cases}\) \(\begin{cases} x_{2} = -a \\ y_{2} = 3a \end{cases}\).

2) \(\begin{cases} x - y = b \\ xy = 2b^{2} \end{cases}\)

Выразим из первого уравнения \(x\) через \(y\)

\(x = (b + y)\)

Подставим полученное значение во второе уравнение:

\((b + y) \cdot y = 2b^{2}\)
\(y^{2} + by - 2b^{2} = 0\)

Решим его относительно переменной \(y\):

\(D = b^{2} - 4ac \begin{cases} a = 1 \\ b = b \\ c = -2b^{2} \end{cases}\)
\(D = b^{2} - 4(-2b^{2}) = b^{2} + 8b^{2} = 9b^{2}\)
\(\sqrt{D} = \sqrt{9b^{2}} = 3|b|\)
\(y_{1{,}2} = \dfrac{-b \pm 3|b|}{2} = \dfrac{-b \pm 3b}{2}\)
\(y_{1} = \dfrac{-b + 3b}{2} = \dfrac{2b}{2} = b\)
\(y_{2} = \dfrac{-b - 3b}{2} = \dfrac{-4b}{2} = -2b\)
\(x_{1} = b + y_{1} = b + b = 2b\)
\(x_{2} = b + y_{2} = b - 2b = -b\)

Ответ: \(\begin{cases} x_{1} = 2b \\ y_{1} = b \end{cases}\) \(\begin{cases} x_{2} = -b \\ y_{2} = -2b \end{cases}\).